Определение 3.1.4
Функция f (x) называется дифференцируемой на промежутке (a, b), если она является дифференцируемой в каждой точке x0 (a, b).
3.1.3. Непрерывность и дифференцируемость функции
Теорема 3.1.1
Если функция f (x) дифференцируема в точке x0 , то она непрерывна в этой точке.
Доказательство
Из определения функции, дифференцируемой в точке x0 , следует, что ее приращение в этой точке можно представить в виде:
y = f ′(x0 ) x +θ( x).
Переходя в этом равенстве к пределу при |
x → 0 и учитывая, что f ′(x0 ) - конечное |
|
число, а θ( x) - бесконечно малая при x → 0 функция, получим |
||
lim |
y = 0 . |
|
x→0 |
|
|
Следовательно, при бесконечно малом приращении |
x , приращение функции y |
|
тоже является бесконечно малым. Значит, функция f (x) непрерывна в точке x0 . |
||
ЗАМЕЧАНИЕ |
|
|
Обратное утверждение неверно. Непрерывная в точке |
x0 функция может не быть в этой |
|
точке дифференцируемой. Это можно показать на следующих примерах.
Задача 3.1.1
Функция y = 3 x (рис. 3.1.2) определена и непрерывна на всей числовой оси. Однако
в точке x0 |
= 0 она не является дифференцируемой, так как ее производная y′ = |
|
|
1 |
в |
|
3 |
x2 |
|||
|
3 |
|
|||
этой точке бесконечна. Касательная к графику функции в точке x0 = 0 перпендикулярна оси Ox .
Задача 3.1.1
Функция |
y = |
|
x |
|
|
(рис. 3.1.3) определена и непрерывна на всей числовой оси, а в |
|||||||||||
|
|
||||||||||||||||
точке x0 = 0 |
она не является дифференцируемой, |
так как ее производная |
y′ |
в этой |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x, x ≥ 0 |
y′ = |
1, |
x ≥ 0 |
. |
|
|
точке не существует. Действительно, y = |
|
x < 0 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x, x < 0 |
|
−1, |
|
|
|
|
То, что функция |
y = |
|
x |
|
|
не дифференцируема в точке |
x0 = 0 легко видеть из ее |
||||||||||
|
|
||||||||||||||||
графика. При |
x < 0 |
касательной к графику является прямая |
y = −x , а |
при |
x > 0 |
||||||||||||
касательной является прямая |
y = x . При переходе через точку |
x0 = 0 касательная не |
|||||||||||||||
меняется непрерывно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5