- •3.1. Производные и дифференциалы
- •3.1.1. Производная и ее геометрический смысл
- •Определение 3.1.1
- •Определение 3.1.2
- •Геометрический смысл производной
- •Доказательство
- •3.1.2. Дифференцируемая функция
- •Определение 3.1.3
- •Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции
- •Доказательство
- •Определение 3.1.4
- •3.1.3. Непрерывность и дифференцируемость функции
- •Теорема 3.1.1
- •Доказательство
- •Задача 3.1.1
- •Задача 3.1.1
- •Определение 3.1.5
- •3.1.4. Правила дифференцирования
- •Производная функции, тождественно равной постоянной
- •Производная суммы и разности функций
- •Доказательство
- •Производная произведения функций
- •Доказательство
- •Следствие
- •Доказательство
- •Производная частного
- •Доказательство
- •Теорема о производной обратной функции
- •Доказательство
- •Производная сложной функции
- •Доказательство
- •3.1.5. Производные основных элементарных функций
- •Производная степенной функции
- •Доказательство
- •Производная экспоненциальной и показательной функций
- •Доказательство
- •Производная логарифмической функции
- •Доказательство
- •Производные тригонометрических функций
- •Доказательство
- •Производные обратных тригонометрических функций
- •Доказательство
- •Производные гиперболических функций
- •Доказательство
- •Пример 3.1.2
- •Решение
- •Задача 3.1.3
- •Решение
- •3.1.6. Уравнение касательной к кривой. Угол между кривыми.
- •Уравнение касательной
- •Доказательство
- •Задача 3.1.4
- •Решение
- •Задача 3.1.5
- •Решение
- •3.1.7. Дифференциал. Формула дифференциала
- •Определение 3.1.6
- •Правила дифференцирования
- •Задача 3.1.6
- •Решение
- •Геометрический смысл дифференциала
- •Доказательство
- •Инвариантность формулы дифференциала
- •Доказательство
- •Следствие
- •3.1.8. Производные функций, заданных параметрически. Дифференцирование неявных функций
- •Производная функции, заданной параметрически
- •Доказательство
- •Задача 3.1.7
- •Решение
- •Производная функции, заданной неявно
- •Задача 3.1.8
- •Решение
- •Задача 3.1.9
- •Решение
- •3.1.10. Приближенные вычисления с помощью дифференциала.
- •Задача 3.1.10
- •Решение
- •3.1.10. Производные высших порядков
- •Определение 3.1.7
- •Задача 3.1.11
- •Решение
- •Задача 3.1.12
- •Решение
- •Задача 3.1.13
- •Решение
- •Задача 3.1.14
- •Решение
- •Механический смысл первой и второй производной
- •Доказательство
- •Следствие
- •3.1.11. Дифференциалы высших порядков.
- •Определение 3.1.8
- •Формула второго дифференциала
- •Доказательство
- •Задача 3.1.15
- •Решение
- •Задача 3.1.16
- •Решение
- •3.1.12. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа. Правила Лопиталя
- •Теорема Ферма
- •Доказательство
- •Следствие
- •Теорема Ролля
- •Доказательство
- •Теорема Лагранжа.
- •Доказательство
- •Правило Лопиталя
- •Доказательство
- •Задача 3.1.17
- •Решение
- •Задача 3.1.18
- •Решение
- •Задача 3.1.19
- •Решение
- •3.1.13. Формула Тейлора и ее применение
- •Многочлен Тейлора
- •Определение 3.1.9
- •Теорема 3.1.2
- •Доказательство
- •Формулы Тейлора и Маклорена
- •Определение 3.1.9
- •Теорема 3.1.3
- •Доказательство
- •Определение 3.1.10
- •Формула Маклорена для основных элементарных функций
- •Задача 3.1.20
- •Решение
- •Задача 3.1.21
- •Решение
- •Применение формул Тейлора и Маклорена
- •Задача 3.1.22
- •Решение
- •Задача 3.1.23
- •Решение
- •Задача 3.1.24
- •Решение
- •3.2. Исследование функций с помощью производных
- •3.2.1. Исследование функций с помощью первой производной
- •Определение 3.2.1
- •Определение 3.2.2
- •Необходимое условие экстремума
- •Доказательство
- •Следствие
- •Определение 3.2.3
- •Достаточное условие экстремума
- •Доказательство
- •Задача 3.2.1
- •Решение
- •Задача 3.2.2
- •Решение
- •Чтобы исследовать функцию на экстремум необходимо:
- •Задача 3.2.3
- •Решение
- •3.2.2. Исследование функций с помощью второй производной. Точки перегиба
- •Определение 3.2.4
- •Определение 3.2.5
- •Теорема 3.2.1
- •Доказательство
- •Теорема 3.2.2
- •Доказательство
- •Определение 3.2.6
- •Теорема 3.2.3
- •Чтобы найти точки перегиба графика функции нужно:
- •Задача 3.2.4
- •Решение
- •Задача 3.2.5
- •Решение
- •3.2.3. Асимптоты графика функции.
- •Определение 3.2.7
- •Задача 3.2.6
- •Решение
- •Определение 3.2.8
- •Теорема 3.2.3
- •Доказательство
- •Задача 3.2.7
- •Решение
- •3.2.4. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной на замкнутом промежутке функции
- •Задача 3.2.8
- •Решение
- •3.2.5. Элементы дифференциальной геометрии плоских кривых
- •Пример 3.2.8
- •Решение
- •Пример 3.2.9
- •Решение
- •Касательная к пространственной кривой и нормальная плоскость
- •Пример 3.2.10
- •Решение
- •Дифференциальные характеристики плоских кривых
- •Определение 3.2.9
- •Определение 3.2.10
- •Определение 3.2.11
- •Пример 3.2.11
- •Решение
- •Пример 3.2.12
- •Решение
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет»
(СПбГМТУ)
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИКА
Направление подготовки: 180100 «Кораблестроение, океанотехника и системотехника объектов морской инфраструктуры»;
Профили подготовки: 1.180100.62.01 «Кораблестроение», 1.180100.62.03 «Океанотехника».
Квалификация (степень) выпускника: Бакалавр техники и технологии
Форма обучения: очная
Санкт-Петербург
2011
Раздел 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
3.1. Производные и дифференциалы
Производная функции y = f (x) , её геометрический и механический смысл. Таблица
производных. Основные правила дифференцирования. Производная сложной функции. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических функций. Гиперболические функции и их производные. Дифференцируемость функций. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Связь дифференцируемой функции с непрерывной функцией. Производные высших порядков. Численное дифференцирование. Дифференциал, геометрический смысл, свойства дифференциала. Инвариантность формы дифференциала, нарушение инвариантности формы дифференциала, порядка выше первого. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Функции, дифференцируемые на интервале. Теоремы Ферма, Ролля Лагранжа, Коши. Их геометрический смысл. Правило Лопиталя раскрытия
неопределенностей |
0 |
; |
∞ |
. Раскрытие неопределенностей 0 ∞; ∞−∞; |
1∞; |
0∞; ∞0 . |
||||||
0 |
∞ |
|||||||||||
Формула |
Тейлора. |
Разложение |
по |
степеням |
x |
|
функций |
|||||
ex ; sin x; cos x; |
(1+ x)α; ln(1+ x) . |
Выделение с |
помощью формулы |
Тейлора |
||||||||
главной части бесконечно малой функции. Вычисление пределов с помощью формулы |
||||||||||||
Тейлора. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.1.1. Производная и ее геометрический смысл |
|
|
|
|
|
|||||||
Определение 3.1.1 |
|
|
|
|
|
|
|
и пусть точка x0 (a, b), |
|
|||
Пусть функция |
f (x) задана на промежутке (a, b) |
а число |
||||||||||
x такое, что новая точка x0 + |
x (a, b). Приращением |
y функции |
f (x) |
в точке x0 |
||||||||
называется разность значений функции в точках x0 + |
x и x0 , то есть |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
y = f (x0 + x)− f (x0 ). |
|
|
|
|
||
При этом число |
x называется приращением аргумента. |
|
|
|
|
|||||||
Определение 3.1.2 |
|
|
|
|
|
|
|
и пусть точка x0 (a, b), |
|
|||
Пусть функция |
f (x) задана на промежутке (a, b) |
а число |
||||||||||
x такое, что точка x0 + |
|
x (a, b). Производной функции |
f (x) в точке x0 называется |
|||||||||
предел отношения приращения функции ( y) к приращению аргумента ( x) при
условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если этот предел существует и |
|||
конечен. |
|
|
|
Для производной используются обозначения f ′(x0 ), или просто y′. Итак: |
|||
y′ = f ′(x0 )= lim |
y , |
||
x→0 |
x |
||
или, учитывая определение 3.1.2, y′ = f ′(x0 )= lim |
f (x0 + x)− f (x0 ) |
. |
|
|
|||
x→0 |
x |
||
Геометрический смысл производной
Производная функции f (x) в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной,
проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой x0 .
2