1.5 Метод Фибоначчи

Найти минимум функции методом Фибоначчи с точностью , начальной точкой и константой различимости .

Решение:

1. Начальный интервал неопределенности [a₀; b₀] = [-2;22].

2. Найдем числа Фибоначчи:

3. Предположим, что ;

4. Вычислим :

5. Вычислим (рисунок 1,5).

6. Сравним и . Так как , то

.

7. Проверим условие окончания:

следовательно, Переходим к шагу 5¹.

5¹. Вычислим

6¹. Сравним и . Так как , то

.

7¹. Проверим условие окончания:

следовательно, Переходим к шагу 5².

5². Вычислим

6². Сравним и . Так как , то

.

7². Проверим условие окончания:

следовательно, Переходим к шагу 5³.

5³. Вычислим

6³. Сравним и . Так как , то

.

7³. Проверим условие окончания:

следовательно, Переходим к шагу 5⁴.

5⁴. Вычислим

6⁴. Сравним и . Так как , то

.

7⁴. Проверим условие окончания:

следовательно, Переходим к шагу 5⁵.

5⁵. Вычислим

6⁵. Сравним и . Так как . , то

.

7⁵. Проверим условие окончания:

следовательно, Переходим к шагу 5⁶.

5⁶. Вычислим

6⁶. Сравним и . Так как , то

.

7⁶. Проверим условие окончания:

y₇ = z₇ = , то

y₈ = y₇ = z₇ =2.364

z₈ = y₈ + ε = 2.364 + 0.02 = 2.366

Так как , то

Поэтому

В качестве приближенного решения возьмем середину полученного интервала:

Рисунок 1.5 - Первые итерации поиска методом Фибоначчи

2. Многомерная оптимизация

2.1 Метод Коши

Найти минимум функции Ф(x) = (x₁ + 2x₂)² + (x₂ - 4)² методом Коши с точностью ε = 0.3 для начальной точки с координатами x⁽⁰⁾ = (- 4; 7).

Решение:

1.Предположим k = 0.

2.Вычислим компоненты градиента :

Т.е. Ф() = ()

3. Вычислим :

Ф(x⁽⁰⁾) = (

Так как |Ф(x⁽⁰⁾) | = , то переходим к шагу 4.

4. С помощью формулы Ф(x^(k)) построим первое приближение:

Ф(x⁽⁰⁾)

Выберем таким образом, чтобы минимизировать функцию по :

Ф(x⁽¹⁾)→

Ф(x) =

ε = 0.3

x⁽⁰⁾ = (- 4; 7).

Определяем :

Ищем параметр :

+

Поскольку

Т.е. x⁽¹⁾ = (- 5.72; 3.04)

5. Вычислим :

Ф(x⁽¹⁾) = (

Так как |Ф(x⁽¹⁾) | = , то

k = k+1 =1 переходим к шагу .

Определяем :

Ищем параметр :

+

Поскольку

Т.е. x⁽²⁾ = (- 6.65; 3.66)

. Вычислим :

Ф(x⁽²⁾) = (

Так как |Ф(x⁽²⁾) | = , то

k = k+1 =2 переходим к шагу .

Определяем :

Ищем параметр :

+

Поскольку

Т.е. x⁽³⁾ = (- 6.77; 3.48)

. Вычислим :

Ф(x⁽³⁾) = (

Так как |Ф(x⁽³⁾) | = , то

k = k+1 =3 переходим к шагу .

Определяем :

Ищем параметр :

+

Поскольку

Т.е. x⁽⁴⁾ = (- 7.15; 3.76)

. Вычислим :

Ф(x⁽⁴⁾) = (

Так как |Ф(x⁽⁴⁾) | = , то

k = k+1 =4 переходим к шагу .

Определяем :

Ищем параметр :

+

Поскольку

Т.е. x⁽⁵⁾ = (- 7.22; 3.67)

. Вычислим :

Ф(x⁽⁵⁾) = (

Так как |Ф(x⁽⁵⁾) | = , то

вычисления завершаются.

В результате решения задачи безусловной многомерной оптимизации получаем:

(рисунок 2.2)

Рисунок 2.2 – Траектория спуска