Биномиальные коэффициенты — это коэффициенты бинома!

Только что мы использовали выражение биномиальных коэффициентов через факториал; но биномиальные коэффициенты имеют много и других определений. Воспользуемся теперь тем, что

t (u + 1)t =  ∑  (ti) ui. i=0

(26)

Эта формула является определением биномиальных коэффициентов, если рассматривать её как тождество относительно u. Но нам нужно, чтобы u было неизвестной, принимающей в каждом конкретном решении искомой системы лишь одно значение.

Заметим, что

t (ti)  ≤  ∑  (ti)  = (1 + 1)t = 2t, i=0

(27)

и, таким образом, если

u > 2t,

(28)

то (t0), (t1), ..., (tt) — это цифры в записи числа (u+1)^t в позиционной системе счисления с основанием u. Следовательно, биномиальные коэффициенты однозначно определяются тем условием, что равенство (26) и неравенства (27) и (28) одновременно выполнены хотя бы при одном значении  u.

Лемма 5. Условие (23) эквивалентно относительно параметров r, t, c системе условий

ì ï í ï î  u = 2t + 1,  x5 = u + 1,  x5t = x6ur+1 + cur + x7,  x7 + x8 = ur,  c + x9 = u.

(29) (30) (31) (32) (33)

Здесь все условия уже имеют необходимый нам вид.

Итак, мы показали, что условие (11) эквивалентно относительно параметра p системе, состоящей из экспоненциально диофантовых уравнений (15), (18), (22), (24), (25), (29)–(33). Чтобы получить требуемый экспоненциальный многочлен, осталось переименовать переменные r, s, t, c и u в x₁₀, x₁₁, x₁₂, x₁₃, x₁₄, объединить по лемме 2 все уравнения в одно и преобразовать по лемме 1 это уравнение к искомому виду (10).

Дальнейшие шаги

Формула (10) не содержит явно номера задаваемого ею простого числа. Описанный выше способ построения экспоненциального многочлена R не даёт прямого пути для включения номера простого числа в формулу (10). Используя существенно более сложную технику, Мартин Дейвис, Хилэри Патнам и Джулия Робинсон в 1961 году доказали одну очень сильную теорему, которая имеет такое следствие.

Существует экспоненциальный многочлен P(n, x₀, ..., x_k ) такой, что при каждом фиксированном значении параметра n и произвольных значениях остальных переменных, многочлен P принимает ровно одно положительное значение, и этим значением является n-е простое число.

В 1970 году автору этой статьи удалось, используя другие результаты Джулии Робинсон, построить такое диофантово уравнение:

M(a, b, c, z1, ..., zm) = 0,

(34)

которое разрешимо тогда и только тогда, когда параметры a, b и c связаны соотношением a = b^c. Этот результат позволяет опустить в формулировке предыдущей теоремы слово «экспоненциальный», то есть позволяет построить многочлен, задающий простые числа. Об этом, однако, мы поговорим в другой раз. Те же читатели, кого заинтересовала подобная тематика и кого не страшат трудности, могут попробовать самостоятельно разобраться в статье автора «Диофантовы множества», опубликованной в журнале «Успехи математических наук», т. XXVII, № 5, 1972 год.