Корреляционное отношение

В том случае статистическую зависимость между признаками определяют с помощью корреляционного отношения.

Рассмотрим дисперсию случайной величины (43)

Последнее слагаемое в этом выражении равно нулю. Докажем справедливость этого утверждения для дискретного распределения

(44)

Учитывая, что , (45)

получим

. (46)

Следовательно, можно представить в виде

(47)

или

(48)

Здесь первое слагаемое представляет собой дисперсию признакаотносительно функции регрессиина, которая называется остаточной дисперсией или условной дисперсией. Она является мерой рассеяния признакаоколо линии регрессии. Остаточной дисперсией называется та часть рассеивания результативного признака, которую нельзя объяснить действием наблюдаемого признака. Остаточная дисперсия может служить для оценки точности подбора вида функции регрессии (модельного уравнения регрессии).

Если инезависимы, то все условные математические ожидания совпадают с безусловными и.

Второе слагаемое представляет собой дисперсию функции регрессиинаотносительно математического ожидания признака, она измеряет влияние признакана. Ее можно использовать для оценки тесноты связи междуи. Введем корреляционное отношение

(49)

Разделим обе части (48) на и получим затем корреляционное отношение в виде

. (50)

Из (50) следует,

1) , так как является составной частьюи поэтому .

2)только тогда, когда, т.е. отсутствует влияние всех прочих факторов и все распределение сконцентрировано на кривой регрессии.

3) только тогда, когда, т.еВ этом случае линия регрессиина– горизонтальная прямая, проходящая через центр распределения. Тогда переменнаяне коррелированна с, т.е. коэффициент корреляции равен нулю.

Если регрессия налинейна, т.е. линия регрессии –прямая

, то и.

Если , тоисвязаны точной линейной зависимостью, если же,то между инет функциональной зависимости. Точная функциональная зависимостьот, отличная от линейной, имеет место тогда и только тогда, когда.

Значения , лежащие в интервалеявляются показателями тесноты группировки точек около кривой регрессии независимо от ее вида (формы связи). Корреляционное отношениесвязано с коэффициентом корреляциисоотношениями. В случае линейной зависимости между переменными. Разностьможет быть использована как показатель нелинейности связи между переменными, т.е. в качестве индикатора отклонения регрессии от линейной.

Все утверждения относительно переносятся на– показатель тесноты связи междуи.

110