Свойства числовых характеристик случайного вектора

1. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий.

Это утверждение справедливо для любых случайных величин, зависимых и независимых. Оно верно для системы случайных величин.

2. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин

Если и– зависимые случайные величины, то утверждение неверно.

Из формулы (18) следует, что математическое ожидание произведения случайных величин и(зависимых или независимых) равно произведению их математических ожиданий плюс их ковариация, т.е.

.

3. Дисперсия суммы двух случайных величин равна сумме дисперсий этих величин и удвоенного корреляционного момента.

.

Если и– некоррелированные случайные величины, тои тогда дисперсия суммы двух случайных величин равна сумме дисперсий этих величин

.

Если и– независимые случайные величины, то они некоррелированные.

4. Если и– независимые случайные величины, то

(22)

(23)

Преобразуем правую часть (22)

(24)

Из (23) и (24) следует (22).

5.

6.

На основании свойства 5 можно записать левую часть в виде

7. Коэффициент корреляции по абсолютной величине не может превосходить единицу.

,

где .

Рассмотрим .

(25)

Учитывая, что ,получим из (25) . Отсюда

и следовательно .

Рассмотрим теперь . Тогда

(26)

Отсюда и следовательно

Следовательно

8. Если исвязаны строгой линейной функциональной зависимостью, то. Верно и обратное утверждение: если, то иисвязаны строгой линейной функциональной зависимостью.

Пусть . Тогдаи

Учитывая, что , получим

Следовательно,

Если случайные величины исвязаны строгой линейной возрастающей зависимостью, то, если же они связаны линейной убывающей зависимостью, то.

Если случайные величины некоррелированы, в частности, если они независимы, то коэффициент корреляции равен нулю. Из независимости случайных величин следует их некоррелированность. Из некоррелированности случайных величин не следует их независимость. Можно лишь утверждать, что они не связаны линейной зависимостью. Чем ближе коэффициент корреляции к 1, тем сильнее линейная зависимость, чем ближе он к 0, тем слабее связь. Коэффициент корреляции – числовая характеристика, способная оценивать наличие статистической линейной связи между случайными величинами. Коэффициент корреляции не может оценить нелинейную связь между случайными величинами.

9. Определитель матрицы ковариаций неотрицателен.

, так как и следовательно.

Определитель матрицы ковариаций называется обобщенной дисперсией случайных величин и.

Лекция 11 Нормальный закон распределения на плоскости

Двумерный случайный вектор имеет нормальный закон распределения, если совместная плотность распределения системы случайных величин имеет вид

(27)

Плотность распределения зависит от 5 параметров . Выясним смысл этих параметров.

Найдем маргинальные плотности распределения

(28)

Введем новую переменную в интеграле . При этом пределы интегрирования не изменятся. Переобозначая переменную интегрирования, т.е. заменяя простона, и вводя обозначения

, (29)

получим

(30)

Вычислим интеграл, входящий в (30) (31)

Здесь мы использовали операцию выделения полного квадрата в показателе степени функции и последующую замену переменной интегрирования, которая в дальнейшем привела результат вычисления к интегралу Эйлера–Пуассона .Подставляя полученное выражение для интеграла в (28), получим

.

Упростим полученное выражение

Следовательно,

(32)

имеет вид плотности нормального распределения случайной величины , гдематематическое ожидание и– среднеквадратичное отклонение случайной величины.

Аналогично

(33)

имеет вид плотности нормального распределения случайной величины , гдематематическое ожидание и– среднеквадратичное отклонение случайной величины.

Вычислим корреляционный момент случайных величин и.

(34)

Во внутреннем интеграле введем вначале новую переменную . При этом пределы интегрирования не изменятся. Переобозначая переменную интегрирования, т.е. заменяя простонаи используя обозначения (29), получим

(35)

Подставляя найденное выражение (35) для интеграла в (34) и упрощая полученное выражение, получим

(36)

Введем новую переменную и обозначение. Тогда

(37)

Отсюда следует, что - коэффициент корреляции.

Если коэффициент корреляции равен нулю , то

(38)

Из последнего равенства следует, что плотность совместного распределения случайных величин равна произведению маргинальных плотностей распределения, т.е. случайные величиныинезависимы. Это означает, чтоиз некоррелированности случайных величин, распределенных по нормальному закону, следует их независимость. В общем случае это не так: из равенства нулю коэффициента корреляции не вытекает независимость случайных величин.

Построим линии регрессии в случае нормально распределенного случайного вектора. Напомним, что условные математические ожидания

(39)

–уравнение линии регрессии на.

–уравнение линии регрессии на.

Если случайный вектор имеет нормальное распределение, то линии регрессии – прямые линии.

Найдем условные плотности распределения для нормально распределенного случайного вектора, используя (27), (32) и (33)

(40)

(41)

Из (39)-(41) получим условные математические ожидания

, (42)

которые представляют собой линейные функции. Следовательно, линии регрессии для случайного вектора, распределенного по нормальному закону – прямые линии.