Неравенство Чебышева

Для любой случайной величины ( дискретной или непрерывной, распределенной по любому закону с математическим ожиданием и дисперсиейдля любого вещественного числасправедливо неравенство

. (21)

Или (22)

Доказательство.

Докажем справедливость неравенства (21) для непрерывной случайной величины. Из определения вероятности

=

Отсюда и следовательно,.

Неравенство Чебышева (22) не позволяет найти вероятность случайной величине отклониться по абсолютной величине от своего математического ожидания на величину, большую , а устанавливает лишь для нее верхнюю границу. Например, для нормально распределенной случайной величиныв соответствии с правилом. Неравенство Чебышева дает следующую верхнюю границу.

Следствие из неравенства Чебышева.

Если , то почти достоверно, что случайная величина равна своему математическому ожиданию.

Теорема Чебышева.

Если – попарно независимые величины, имеющие ограниченные дисперсии, т.е., то для любого положительного, как бы оно мало ни было,

(23)

Это соотношение означает, что для достаточно большого числа независимых С.В. с ограниченными дисперсиями почти достоверно то, что отклонение среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий будет по абсолютной величине сколь угодно малым.

Доказательство.

Введем в рассмотрение СВ . Тогда. Применим кнеравенство Чебышева (21)

.

Учитывая, что

вследствие ограниченности дисперсий, получим из (21)

. Отсюда и значит

Следствие из т. Чебышева

Если – попарно независимые величины, имеющие ограниченные дисперсии и одно и то же математическое ожидание, то для любого

. (24)

Теорема Чебышева может быть применена к среднему арифметическому значению одной случайной величины.

Пусть в результате испытаний случайная величинапринимает значения. В результате других серийиспытаний случайная величина принимает значения; и т.д. Обозначим черезслучайную величину, которая принимает первые значения в различных сериях испытаний, т.е.Аналогично введем, ,. Все эти величины распределены по одному закону и имеют одно и то же математическое ожиданиеи одну и ту же дисперсию. Тогда.,

Т.е. при безграничном возрастании числа испытаний среднее арифметическое значений случайной величины сходится по вероятности к математическому ожиданию этой величины.

Теорема Бернулли.

Эта теорема устанавливает устойчивость частоты при многократных испытаниях.

Если в каждом из независимых испытаний вероятностьпоявления событияпостоянна и– число испытаний, в которых появилось событие, то

. (25)

Доказательство.

Обозначим через случайную величину – число появлений событияв первом испытании, черезслучайную величину – число появлений событияво втором испытании, …, черезслучайную величину – число появлений событияв- м испытании. Каждая из СВ может принимать только два значения 1 с вероятностьюи 0 с вероятностью.

Применим к таким С.В. теорему Чебышева. Для этого нужно, чтобы эти С.В. были попарно независимы и дисперсии их должны быть ограниченными. Попарная независимость этих величин следует из независимости испытаний. Математическое ожидание каждой С.В. равно=, так как ее ряд распределения

Значения случайной величины	0	1
Вероятности

. Следовательно, дисперсия .

Произведение двух множителей, имеющих заданную сумму наибольшее, если эти множители равны. Следовательно, дисперсия каждой С.В. ограничена. Поэтому на основании теоремы Чебышева

., где .

Каждая из С.В. принимает либо 0, либо 1, поэтому их сумма равна числу появлений событияA в серии из испытаний. Поэтому

.

Это означает, что при неограниченном возрастании числа испытаний частота появления события А сходится по вероятности к его вероятности.