Метод Якоби

Этот метод можно отнести к методам простой итерации.

В основе методов простой итерации лежит преобразование уравнения

(21)

к виду:

(22)

и использование итерационной процедуры

, (23)

где Р – может быть произвольной функцией.

Теорема о достаточном условии сходимости метода простой итерации. Если < 1, то система уравнений (22) имеет единственное решение и итерационный процесс сходится к решению со скоростью геометрической прогрессии.

Теорема о достаточном и необходимом условии сходимости метода простой итерации. Итерационный процесс сходится к решению при любом начальном приближении тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы Р по модулю меньше единицы.

Метод Якоби:

(24)

и т.д.

В общем случае

.

Для нелинейного случая

(25)

Метод Гаусса – Зейделя

В основе метода лежит уравнение вида:

, (26)

где L, U – нижнее и верхнее треугольное разложение матрицы А, D – диагональная матрица.

Без данного преобразования метод Гаусса-Зейделя выглядит следующим образом:

(27)

(28)

Метод поверхностной верхней релаксации

Идея метода состоит в том, что приращение, полученное в результате одной итерации по методу Гаусса-Зейделя, умножается на некоторый релаксационный множитель и прибавляется к текущему значению.

(29)

- приращение, полученное по методу Гаусса-Зейделя, - диагональная матрица параметров релаксации.

Общее условие сходимости: все собственные значения матрицы по модулю < 1.

Анализируя эти условие можно предположить, что для сходимости метода Якоби матрица А уравнения (21), должна быть близка к диагональной, а для сходимости метода Гаусса-Зейделя – почти нижней треугольной формы, т.е. условием сходимости обоих методов является преобладание диагональных элементов.

Рис.4 Иллюстрация метода Гаусса-Зейделя:а) сходится; б) расходится ;в) цикл.

На рисунках показаны случаи, когда метод Гаусса сходится (рис.4а), расходится (рис.4б) и имеет цикл (рис.4в).

Сравнивая рисунки 4а и 4б видно, что сходимость метода Гаусса-Зейделя может изменять характер при перестановке уравнений.

В случае, если матрица А симметрична, выполняется теорема.

Пусть А – вещественная симметричная положительно определенная матрица, тогда метод Гаусса-Зейделя сходится. Рассмотрим решение ММС методом Гаусса-Зейделя для схемы, представленной на рис.

П редставим математическую модель схемы в виде:

Решим ее точным методом и методом Гаусса-Зейделя

(30)

Рис. 5 Эквивалентная схема.

Из системы (30) получим следующие уравнения:

(31)

Рассмотрим итерационную процедуру:

Из уравнения (31):

Введем погрешность:

Подставим в формулы погрешности уравнения (31) в преобразованном виде:

Таким образом, выражения для погрешностей примут вид:

Можно показать, что:

Условие сходимости к решению:

Нетрудно видеть, что сходимость уравнений гарантируется при

Для приведенного примера

при , то есть скорость сходимости к решению . Отметим, что при использовании МУП формируется структурно-симметричная матрица. Следовательно, при перестановке уравнений в полученной системе характер сходимости не меняется.