23.3. Предельное состояние статически определимых систем при изгибе
Для систем, работающих преимущественно на изгиб, разрушение сечения определяется в основном величиной изгибающего момента.
Рассмотрим предельное состояние балки с двумя шарнирно опертыми концами, от действия силы P, приложенной в середине пролета. В статически определимой балке (рис.23.3), как известно, нормальные напряжения в поперечных сечениях в упругой стадии, изменяются по высоте сечения по линейному закону и пропорциональны величине изгибающего момента.
Рис.23.3
В опасном сечении
при достижении напряжений в крайних
волокнах величины
,
заканчивается упругий стадия работы и
величина изгибающего момента по теории
допускаемых напряжений будет определяться
следующими известными соотношениями:
,
(23.10)
откуда допускаемое значение внешней силы вычисляется по:
,
(23.11)
где W - момент
сопротивления поперечного сечения
балки. Для прямоугольного сечения
гдеb,h
-
размеры поперечного сечения (рис.23.3, б).
Таким образом, при расчете балки (рис.23.3, а) по теории допускаемых напряжений, допускаемое значение внешней силы, определяется по:
.
(23.12)
Однако, очевидно,
что при
,
вычисленной по формуле (23.12), заданная
балка далеко не исчерпала свою несущую
способность. При увеличении нагрузки,
пластические деформации проникают
вглубь сечения, вплоть до появления в
немпластического
шарнира,
т.е. состояния сечения, при котором все
ее точки перешли в пластическое состояние.
В пластическом шарнире момент достигает
предельной величины, когда эпюра
нормальных напряжений во всех точках
в опасном сечении принимает значение
(рис.23.3,б).
Рис.23.4
Согласно диаграмме деформирования материала по Прандтлю, продольные волокна балки в этом сечении испытывают беспредельно возрастающие деформации. В этих условиях можно говорить о формировании пластического шарнира в сечении, который превращает данную балку в механизм (рис.23.4). Это означает, что с возникновением пластического шарнира происходит полное исчерпание несущей способности балки, т.е. заданная система разрушается. Величину силы, вызывающую образование в балке пластического шарнира, называют предельной силой метода предельного состояния.
Значение предельной силы определяется из условия равенства моментов внутренних и внешних сил для опасного срединного сечения балки:
;
,
(23.13)
откуда получим:
.
(23.14)
Величина
называется пластическим моментом
сопротивления, значения которого в
случае прямоугольного сечения было
определено в п.22.3.
Если сравнить
величину предельной силы, определенной
по методу допускаемых напряжений и по
методу предельного равновесия, то
получим, что
.
Из приведенного примера следует, что для расчета изгибаемых элементов по методу предельного состояния, необходимо предварительно определить пластический момент сопротивления в сечениях пластических шарниров.
В таблице 23.1
приведены значения отношения
для некоторых стандартных форм сечений.
Таблица 23.1
|
Форма сечения |
|
|
|
|
|
|
|
1,16 |
1,27 |
1,50 |
1,70 |
2,00 |
