20.3. Пример расчета статически неопределимой рамы на температурное воздействие методом перемещений

Враме, показанной на рис. 20.5,а, со стороны волокон, отмеченных пунктирной линией на горизонтальном и наклонном элементах, произошло изменение температуры:–30ºС, 40ºС,20ºС.Коэффициент линейного температурного расширения материала, из которого изготовлены стержни рамы, известен и равен α. Поперечные сечения всех элементов рамы прямоугольные, их высота на горизонтальных участках рамыh_гравна 0,4 м, на наклонных –h_н= 0,25 м. Абсолютные значения изгибных жесткостей поперечных сечений элементов рамы известны: на горизонтальных участках – 12EJ, на наклонных – 5EJ, причем численное значениеEJзадано. Требуется построить эпюры внутренних усилий от указанного температурного воздействия.

Воспользуемся некоторыми результатами расчета этой рамы на силовое воздействие (см. п. 19.7 девятнадцатой лекции).

1. Вычисление погонных жесткостей стержней рамы:

2. Определение степени кинематической неопределимости рамы и выбор основной системы метода перемещений (рис. 20.5,б).

3. Построение деформационных схем и соответствующих им эпюр изгибающих моментов M₁иM₂в единичных состояниях основной системы метода перемещений (рис. 19.18 и 19.19).

4. Вычисление коэффициентов при неизвестных системы канонических уравнений метода перемещений

(20.4)

В п. 19.7 девятнадцатой лекции коэффициенты при неизвестных r₁₁,r₁₂,r₂₁,r₂₂системы уравнений (20.4) определены с использованием относительных изгибных жесткостей стержней рамы, т.е. приEJ=1 (см. рис. 19.21 и 19.22,а,б). С учетом заданного абсолютного значенияEJимеем:

r₁₁ = 19EJ, r₁₂ = r₂₁ = – 1,125EJ, r₂₂ = 2,2969EJ.

5. Определение перепадов приращений температуры по высоте поперечных сечений и приращений температуры на уровне их центров тяжести(рис. 20.6) для элементов, где имеет место температурное воздействие.

Участок ab:= 40 – (–30) = 70 ºС,

= 5 ºС.

Участок bВ:= 20 – 0 = 20 ºС,

Рис. 20.6

6. Построение эпюры изгибающих моментовв основной системе метода перемещений от неравномерных приращений температуры(рис. 20.7). Для построения эпюрыиспользованы стандартные задачи, приведенные в п. 20.1 настоящей лекции (см. рис. 20.2,д и 20.3,а).

7. Построение эпюры изгибающих моментов в основной системе метода перемещений от равномерных приращений температуры(рис. 20.8,в). Для получения деформационной схемы от этого воздействия (рис. 20.8,а) предварительно построим план перемещений узлов рамы (рис. 20.8,б) с учетом абсолютных продольных перемещений стержнейabиbВ, вызванных нагреванием волокон на уровне центров тяжести их поперечных сечений

По плану перемещений (диаграмме Виллио) определим перекосы стержней от равномерного изменения температуры

Рис. 20.8

Для получения ординат эпюры изгибающих моментов (рис. 20.8,в) использованы стандартные задачи, полученные от линейных перемещений узлов (см. рис. 19.9 и 19.10).

8. Построение суммарной эпюры изгибающих моментов=+от заданного изменения температуры в основной системе метода перемещений (рис. 20.9).

9. Определение свободных членов R_1tиR_2tсистемы канонических уравнений (20.4). Читателям предлагается, используя рис. 20.10,а,б, самостоятельно произвести вычисление этих коэффициентов. Из равновесия узлов, содержащих наложенные связи, получим:

R_1t = 2750,625αEJ,R_2t= 407,8912EJ.

Рис. 20.10

10. Решение системы канонических уравнений (20.4)

Z₁ = – 159,92α, Z₂ = – 255,91α.

11. Построение эпюрвнутренних усилийM_t,Q_t,N_tв раме от заданного температурного воздействия. На рис. 20.11 показана только эпюра изгибающих моментовM_t, ординаты которой, как и следовало ожидать, зависят от абсолютных значений изгибных жесткостей поперечных сечений элементов рамы.

Так как коэффициенты при неизвестных r_11,,r₁₂,r₂₁,r₂₂системы уравнений (20.4) определены с учетом абсолютных изгибных жесткостей поперечных сечений стержней, в последнем соотношении ординаты эпюр изгибающих моментов М₁и М₂в единичном состояниях основной системы метода перемещений (рис. 19.18 и 19.19) увеличены вEJраз.

Эпюры поперечных Q_tи продольных силN_tчитатели, при необходимости, могут построить самостоятельно.

12. Статическая проверка правильности решения задачи. Используя необходимые условия равновесия для всей рамы, читатели могут убедиться в том, что они строго выполняются.