4.2 Вспомогательная таблица метода перемещений

Как было показано в предыдущем параграфе, при расчете методом перемещений исходная система путем введения дополнительных связей расчленяется на ряд однопролетных статически неопределимых балок. Очевидно, что характер нагружения таких балок и способы закрепления их концов дают определенный, постоянный "набор" возможных вариантов, к определенной совокупности которых приводит расчетная схема любой заданной системы. Поэтому целесообразно заранее рассчитать однопролетные статически неопределимые балки при разных нагрузках и использовать эти результаты по мере необходимости. Обычно такой "набор" возможных вариантов представляется в табличной форме.

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих результаты, указанных в тех или иных строках приведенной таблицы.

1. Загружение сосредоточенной силой F однопролетной балки с жестким защемлением на одном конце и шарнирно подвижным опиранием на другом (строка 1 вспомогательной таблицы).

Для решения задачи используем метод сил. Эквивалентная система, единичная и грузовая эпюры для заданной схемы (рис.51,а) представлены на рис.51,б,в,г.

Рис. 51

Каноническое уравнение метода сил:

Коэффициенты канонических уравнений вычислим по способу Верещагина:

Вспомогательная таблица метода перемещений.

№	Схема балки и воздействия на нее	Эпюра моментов и реакции
1		;
2		;;
3		;
4		;
5	Неравномерный нагрев	h – высота сечения

№	Схема балки и воздействия на нее	Эпюра моментов и реакции
6
7
8
9
10	Неравномерный нагрев	h – высота сечения

Отметим, что при указанных условиях закрепления концов балки коэффициент не зависит от характера внешнего воздействия.

Так как и, следовательно,то

Подставляя ив каноническое уравнение, находим:

Тогда реакции левой опоры и опорный момент будут:

Окончательная эпюра моментов для заданной, теперь уже статически определимой, системы, загруженной силами F и X₁(рис.51,д), показана на рис.51,е.

2. Загружение равномерно распределенной нагрузкой q(рис.52,а) однопролетной статически неопределимой балки (строка 2 вспомогательной таблицы).

Для решения вновь используем метод сил. Эпюра моментов от внешней нагрузки, приложенной к основной системе, показана на рис.52,б, а единичная эпюра моментов (и, соответственно, перемещение ) совпадает с построенной в предыдущем примере (рис.51,в).

Уравнение метода сил:

Рис. 52

Здесь при вычислении использованы эпюры(рис.51,в) и(рис.52,б).

Реакция лишней связи:

X₁

Реакция левой опоры:

Опорный момент в левой опоре получим, просуммировав момент в этом сечении от нагрузки q с моментом от X₁:

Направление опорных реакций и момента в заделке показаны на рис.52,в, а окончательная эпюра моментов – на рис.52,г.

3. Перемещение заделки на величину по направлению перпендикулярному оси стержня (рис.53,а).

Эпюра изгибающих моментов в основной системе от смещения будет нулевой, поэтому нулевым будет свободный член уравнения метода сил.

А перемещение по направлению Х₁(рис.53,б) будет:

_1=,

и уравнение метода сил принимает вид:

гдето же, что и ранее.

Отсюда последовательно находим реакции и опорный момент:

Направление этих величин показаны на рис.53,в, а окончательная эпюра моментов на рис.53,г.

При единичном смещении =1 все вычисленные величины принимают значения, указанные в строке 4 вспомогательной таблицы метода перемещений.

Аналогичным образом можно рассчитать однопролетную балку на другие виды воздействий. Предоставив читателю возможность самостоятельно проделать соответствующие расчеты, отметим только, что при рассмотрении балки с двумя защемленными концами (строки 6 – 10 вспомогательной таблицы метода перемещений) целесообразно выбирать основную систему, разрезая балку посредине пролета. Такой разрез, как известно, приводит к появлению трех лишних неизвестных в методе сил – продольной и поперечной сил, а также изгибающего момента. Однако при всех рассматриваемых видах воздействий (вертикальные нагрузки, линейные смещения заделок по нормали к оси балки, поворот заделок) продольная сила будет равна нулю, поэтому решение всех задач приводит к системе двух канонических уравнений метода сил.

Рис. 53