УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ

ПОНЯТИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ. КРИТИЧЕСКАЯ СИЛА

В этих примерах с увеличением нагрузки вплоть до разрушения стержень останется прямым, кольцо – круглым, балка – изгибаться по одному и тому же уравнению. Форма равновесия не зависит от величины внешней силы. Это – устойчивые деформации.

В этих примерах форма равновесия зависит от величины силы. Это – неустойчивая форма деформации.

Под устойчивостью понимают свойство упругой системы сохранять под нагрузкой первоначальную форму упругого равновесия.

Потеря устойчивости наблюдается в элементах конструкций, работающих на сжатие. Например, устойчивость может потерять стенка двутавровой балки при изгибе, труба, нагруженная внешним давлением, корпус подводной лодки, корабельный гребной вал, ходовой винт металлорежущего станка и т.д.

Остановимся на изучении наиболее простой формы потери устойчивости – стержень, сжатый вдоль продольной оси.

1. Устойчивая форма упругого равновесия. Стержень, получив малое отклонение, вновь возвращается в исходное положение.

– механический аналог

2. Безразличная форма упругого равновесия. Стержень, получив малое отклонение, сохраняет состояние покоя. Сила, соответствующая безразличному состоянию, называется критической силой, а напряжения – критическими напряжениями.

– механический аналог

3. Неустойчивая форма равновесия. Стержень, получив малое отклонение, не возвращается обратно, а продолжает изгибаться. Прогибы бытро нарастают, наступает разрушение.

– механический аналог

Пример – пшеница . Колос наливается пшеница полегает.

Сила Р_кр является опасной нагрузкой. Поэтому нужно иметь некоторый запас по устойчивости. Введём понятие допускаемой силы и напряжения.:

; , где - коэффициент запаса устойчивости.

Обычно принимают:

для сталей:

– строительные конструкции

– машиностроение

для чугунов

Изгиб стержня, связанный с потерей устойчивости, называют продольным изгибом.

Формула Л. Эйлера для критической силы (1744 г.)

Рассмотрим стержень длиной l , на шарнирных опорах сжатый продольной силой Р_{кр .}

Доказано, что упругая линия такого стержня представляет собой синусоиду.

Величина силы Р_кр вычисляется по формуле Л. Эйлера (даётся без вывода)

(1)

где – наименьший из двух моментов инерции поперечного сечения стержня.

l – длина полуволны синусоиды упругой линии (в нашем случае – длина стержня).

Формулу (1) можно распространить на другие способы крепления концов стержня, при которых длина полуволны будет другой. Тогда формула Л. Эйлера примет вид:

(2)

где – приведенная длина стержня ;

– коэффициент приведения длины стержня, зависящий от способа крепления его концов (введён Ясинским).

Из формулы (2) видно, что критическая сила не зависит от характеристик прочности материала и . Поэтому при большой гибкости стержня, когда “работает” формула Л. Эйлера, не имеет смысла применять дорогие легированные стали, а наоборот, следует использовать самые дешёвые материалы с низкими прочностными свойствами, т.к. зависит только от модуля Юнга Е, который для всех сталей примерно одинаков (Е = 2·10⁵ МПа).

Пределы применимости формулы Эйлера.

Критические напряжения по Эйлеру. Гибкость стержня.

– напряжение от действия .

Величину называют минимальным радиусом инерции сечения.

Обозначим – гибкость стержня.

Тогда , т.е. (3)

Из формулы (3) видно, что с уменьшением гибкости величина растёт.

Если достигнет величины материала стержня, то формула Эйлера становится неприменимой. Из этого условия определим значение :

Значит, формула Эйлера справедлива, если или . Например, для малоуглеродистой стали: ; , значит .

Для дерева , для чугуна .

Устойчивость стержня за пределом пропорциональности

Формула Эйлера справедлива, если в момент потери устойчивости . Однако явление продольного изгиба продолжает существовать и за пределом упругости. Опытным путём установлено, что действительные критические напряжения для стержней средней и малой гибкости (когда ), лежат ниже значений, определённых по формуле Эйлера..

В результате обработки большого экспериментального материала, полученного Тетмайером, русский учёный Ф.С.Ясинский предложил простую эмпирическую зависимость

(4)

где a и b – опытные коэффициенты, зависящие от материала. Их берут из специальных таблиц. Например, для малоуглеродистой стали:

а = 310 МПа

b = 1.14 МПа

Используя формулу (4), можно для каждого материала построить график , который представляет собой прямую линию.

При некотором значении гибкости величина , вычисленная по (4) становится равной предельному напряжению при сжатии:

Для пластичных материалов

Для хрупких материалов

Стержни, у которых , называются стержнями малой гибкости. Их рассчитывают на обычное сжатие.

Полный график критических напряжений

Таким образом, все стержни можно разделить на:

1. Стержни малой гибкости (). Для них . Эти стержни разрушаются от потери прочности.

2. Стержни средней гибкости (). Для них

3. Стержни большой гибкости (). Для них

Стержни средней и большой гибкости разрушаются от потери устойчивости.

Таким образом, .

Это – полный график критических напряжений. Из него видно:

1. Применять формулу Эйлера для стержней средней и малой гибкости нельзя, т.к. . В каждом диапазоне гибкостей выражение для будет своё. Иначе стержень разрушится от потери устойчивости. Пример – крушение моста в Квебеке через реку Св. Лаврентия и в Женеве.

2. Применять дорогостоящие стали для стержней большой гибкости нерационально, т.к. для всех сталей МПа, значит будет одинаковой для всех сталей, а для стержней малой гибкости применять такие стали выгодно, т.к. у них весьма высок.

Расчёт на устойчивость с помощью коэффициента .

Обычно условию устойчивости придают вид, подобный условию прочности при сжатии:

- при расчёте на сжатие

- при расчёте на устойчивость

В этих формулах:

;

Составим отношение: (5)

Таким образом, (6)

Выясним, от чего зависит .

- зависит от гибкости,

- зависит от материала,

Значит, зависит от гибкости стержня и от материала., из которого он изготовлен. На основании большого количества экспериментов созданы таблицы для . Величина лежит в пределах

Условие устойчивости принимает вид:

(7)

С помощью (7) можно решать 3 типа задач на устойчивость:

1. Проверка на устойчивость – прямо по формуле (7). Должны быть заданы: нагрузка Р, форма и размеры сечения, длина стержня, способы крепления его концов (для определения ), материал стержня.

2. Определение допускаемой нагрузки. Из условия устойчивости (7) находим:

3. Проектный расчёт – определение размеров поперечного сечения F.

Здесь величина пока неизвестна и поэтому находят F методом последовательных приближений.

1-я проба. Задаются .

Находят F₁ → размеры сечения → гибкость → . Сравнивают и .

Если они отличаются не более 5 %, расчёт прекращают и найденные размеры сечения принимают за окончательные, если более 5 %, делают 2-ю пробу.

2-я проба. Задаются значением .

Находят F₂ → разм. сеч. → гибкость → . Сравнивают и и т.д., пока не получат . Найденные в последнем приближении размеры сечения принимают за окончательные. После расчёта на устойчивость при наличии местных ослаблений (например за счёт отверстия в сечении) проводят расчёт на обычное сжатие по :

Выбор рациональных форм поперечных сечений для сжатых стержней.

– для стержней средней гибкости

– для стержней большой гибкости

Из этих формул видно, что чем меньше ,тем большую нагрузку может выдержать стержень. Значит, выгодно уменьшать гибкость .

. Отсюда видно, что для уменьшения нужно увеличить .

Поскольку , то нужно увеличить . (пример с листом бумаги)

С экономической точки зрения наиболее рациональной будет такая форма сечения, при которой величина при данной площади F будет наибольшей.

С этой целью нужно применять сечения в виде правильных многоугольников, у которых материал “разнесён” как можно дальше от центра тяжести сечения, т.е. трубчатые и коробчатые тонкостенные сечения.