Московский институт электронной техники

Курсовая работа

по курсу

“ОВП”

Преобразование Фурье

Выполнил:

Комиссаров А.В

Проверил:

Серов А.Н.

Москва, 2001

Оглавление:

1. Введение…………………………………………………………………………………………………………………………

2. Постановка задачи…………………………………………………………………………………………………

3. Теоретические сведения……………………………………………………………………………………

4. Инструкция пользователя…………………………………………………………………………………

5. Аппаратные и программные требования…………………………………………………

6. Текст программы………………………………………………………………………………………………………

7. Классы и методы………………………………………………………………………………………………………

8. Список литературы…………………………………………………………………………………………………

9. Приложение……………………………………………………………………………………………………………………

1. Введение.

Целью данного курсового проекта является закрепление полученных знаний по изучению языка программирования СИ. В качестве темы выбрано разложение сигнала в ряд Фурье (преобразование Фурье).

2. Постановка задачи:

Разработать программу позволяющую разложить сигнал в ряд Фурье . Сигнал задаётся в виде полинома четвёртой степени.

Коэффициенты полинома задаются пользователем.

Спектр амплитуд и спектр фаз представить спектральными диаграммами.

3) Теоретические сведения:

Исходный сигнал представлен периодической функцией f(x).

Если функция f(x)имеет периодl и кусочно-гладка на периоде б, то она представляется в виде ряда Фурье

f(x)= C_ke^2ПKiX/l

Этот ряд можно преобразовать к выражению,

f(x)= f(u)e^2Пiy(x-u)dudy=S(y)e^2ПiyXdy

которое называется интегралом Фурье для функции f(x).

Приведённый выше двойной интеграл называют интегралом Фурье в комплексной форме.Если воспользоваться здесь формулами Эйлера и принять во внимание значения интегралов в симметричных пределах от чётных и нечётных функций, то получим для f(x) представление

f(x)= [f(u)cos2Пy(x-u)du]dy+i[ f(u)sin2Пy(x+u)du]dy=

2 f(u)cos2Пy(x-u)dudy

Это выражение называют интегралом Фурье в вещественной форме.Производя замену 2Пy = w и вводя обозначения

A(w)=1/П f(u)coswu du

B(w)=1/П f(u)sinwu du ,

f(x) можно записать в виде:

f(x)= [A(w)coswx + B(w)sinwx]dx

Преобразование Фурье в комплексной форме:

S(y)= f(u)e^-2Пiyudu (*)

Обратное преобразование Фурье:

f(x)= S(y)e^2ПiyXdy (**)

Определение спектральных характеристик ряда Фурье:

Для кусочно гладкой на отрезке [-l/2,l/2] функции периода l получено представление:

f(x)= C(y_k)e^2Пiyk^X= |C(y_k)|e ^i[2Пyk^X-(-argC(yk^))] (1)

y_k=k/l C(yk)=1/l f(u)e^-2Пiyk^udu

Разложение (1) для функции f(x) показывает , что функция имеет частотные составляющие с частотами y₁,2y₁,3y₁,...,ky₁,...,т.е периодическая функция обладает своим спектром частот. Таким образом , если функция f(x) известна,томожно определить её спектр частот и,наоборот,по известному спектру частот можно найти соответствующую периодическую функцию f(x) .Поэтому возможны два представления функции f(x) : временное,при котором функция выражается как функция времени x ,и частотное ,при котором определён спектр ,т.е амплитуды C(y_k) различных частотных составляющих e^2Пiyk^X .В связи с этим вводится понятие спектральной функции ряда Фурье.

Спектральной функцией или спектральной плотностью ряда фурье, обозначаемой черезS(y_k) ,называется отношение коэффициентов Фурье C(yk) к приращению частоты Y_k = (k+1)/l-k/l = 1/l, т.е

S(y_k)=C(y_k)/ y_k = f(u)e^-2Пiyk^u du

Спектр существует только на частотах y₁,2y₁,3y₁,...,ky₁,...Это означает,что его нельзя изобразить непрерывной кривой .Такой спектр можно изобразить графически в виде вертикальных линий на частотахy₁,2y₁,3y₁,...,ky₁,...,причём высота каждой лини пропорциональна модулю амплитуды соответствующей частотной составляющей.

Так как амплитуды S(y_k)частотных составляющих комплексны, то они характеризуются модулем и фазой и изменение их происходит в прорстранстве.Поэтому строятся два линейчатых спектра: спектр амплитуд и спектр фаз , которые носят название амплитудного и фазового спектров.Именно амплитудным спектром

P(y_k) называется модуль спектральной функции , т.е

P(y_k) = |S(y_k)| = |f(u)e ^–2Пiyk^u du|

Фазовым спектром Ф(y_k) называется взятый с обратным знаком аргумент спектральной функции

Ф(y_k) = -arg S(y_k)

При k>=0 справедливы соотношения

P(y_k) = l/2 A(y_k)

A(y_k) = a²(y_k) + b²(y_k)

Ф(y_k) = arctg(b(y_k)/a(y_k))

И

P(y_-k) = P(y_k)

Ф(y_-k) = -Ф(y_k)