6.41 . 6.42. 6.43.

6.44 . 6.45. 6.46.

6.47 Найти значение полного дифференциала функции при

6.48 Найти значение полного дифференциала функции при

Первый дифференциал применяют для приближённого вычисления значений функции в малой окрестности точки, в которой функция дифференцируема, по формуле:.

В частности, для функции по формуле:, где,. Чем меньше значение, тем точнее формула.

6.49 Вычислить приближенно:

а) ; б);в);г);д) ; е) ;

ж) ; з) .

6.50 На сколько приближённо изменятся диагональ и площадь прямоугольника со сторонами ,, если первая сторона увеличится на, а вторая уменьшится на?

6.51 Центральный угол сектора увеличился на. На сколько следует приближённо уменьшить радиус сектора, чтобы площадь сектора осталась без изменения?

6.52 Прямоугольный параллелепипед имеет измерения: ,,. На сколько приближённо изменится длина его диагонали, еслиувеличится на,увеличится на,уменьшится на.

6.53 Цилиндрический стакан имеет внутренние размеры: радиус основания R=2.5 м, высоту Н=4м и толщину стенок l=1дм. Найти приближенно объем материала, затраченного на изготовление стакана.

6.54 В усеченном конусе радиусы оснований R=20 см, r=10 см и высота h=30 см. Как приближенно изменится объем конуса , еслиR увеличить на 2мм, r увеличить на 3мм, а h уменьшить на 1 мм?

6.55 Найти в указанной точке второй дифференциал функций:

а) ;б) .

§4. Дифференцирование сложных и неявных функций.

Производная по направлению и градиент.

Если - дифференцируемая функция переменных, являющихся дифференцируемыми функциями независимой переменной:, то производная сложной функциивычисляется по формуле. Еслисовпадает с одним из аргументов, например, то производная, называемая «полной» производной функциипо, вычисляется по формуле

.

Если - дифференцируемая функция переменных, являющихся дифференцируемыми функциями независимыx переменных :,…,, то частные производные сложной функциивычисляются по формулам:

,

………………………….………………..,

.

В частности, для функции справедливы формулы:

, где ;

, где ;

, , где,.

6.56 Найти если

а) ,где ;

б) ,где ;

в) ,где ;

г) ,где .

6.57 Найти , если

а) ,где ;

б) , где .

6.58 Найти и, если

а) ,где ;

б) ,где ;

в) , где ;г) ,где .

6.59 Найти и, если

а) ,где ;

б) где .

6.60 Найти , если

а) где ;

б) где.

6.61 Показать, что следующие функции удовлетворяют данным уравнениям: а) ,;

б) ,;

в) ,;

г) ,.

6.62 Предполагая, что произвольная функция дифференцируема достаточное число раз, проверить следующие равенства:

а) , если;

б) , если;

в) , если;

г) ,если .

Если уравнение , где- дифференцируемая функция по переменным, определяеткак функцию независимых переменных, то частные производные этой неявной функциивычисляются по формулам:,,…,при условии, что.

В частности, для функции , заданной неявно уравнениемсправедлива формула, при условии, а для функции, заданной уравнением

справедливы формулы:,, при условии.

Частные производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием данных формул.

6.63 Найти производную для функций, заданных неявно:

а) ;б) ;

в) ;г) ;

д) ;е) .

6.64 Найти производные указанного порядка для функций , заданных неявно:

а) если ;

б) если .

6.65 Найти частные производные для функций заданных неявно:

а) ; б) ;

в) ;г)

6.66 Найти дифференциал функциизаданной неявно в указанной точке, если:

а) ;б) .

6.67 Найти дифференциал и производнуюфункциизаданной неявно, если:

а) ; б);

в) ; г)

Если - дифференцируемая функция переменных, топроизводная по направлению вектора в точкевычисляется по формуле, где- координаты единичного вектора,.

Градиентом дифференцируемой функции называется вектори обозначается.

Скорость наибольшего изменения функции по направлениюв точкедостигает наибольшего значения, если направлениесовпадает с направлением, т.е..

В частности, для функции производная по направлению и градиент, вычисляются по формулам:,, где- направляющие косинусы вектора.

6.68 Найти производную по направлению вектора, градиенти его величину || в заданной точкедля следующих функций:

а) , , ;

б) , , ;

в) , , ;

г) , , .

6.69 Найти угол между градиентами функции в точкахи.

6.70 Найти угол между градиентами функций ив точке.

6.71 Найти в точке, если:

а) , ;б) , .