- •Глава 9. Дифференциальные и разностные уравнения.
- •§1. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •9.1. 9.2.
- •9.23 . 9.24.
- •9.47 . 9.48.
- •9.89 . 9.90.
- •§2. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •9.131 . 9.132. 9.133.
- •9.161 ,. 9.162,.
- •9.163 ,. 9.164,,.
- •9.165 . 9.166,,. 9.167,,. 9.168,,. 9.169. 9.170.
- •9.171 . 9.172.
- •9.191 .
- •9.245 9.246
- •9.263 9.264
- •9.273 9.274
- •9.281 .
- •9.313. 9.314 .
- •9.323 . 9.324.
- •9.325 . 9.326.
- •9.327 . 9.328.
- •9.331 .
- •9.349 ,,;
- •10.1 . 10.2 .
- •10.3 . 10.4.
- •10.5 . 10.6.
9.263 9.264
9.265 9.266
9.267 9.268
9.269 9.270
9.271 9.272
Однородная линейная система уравнений с постоянными коэффициентами ,, гденазывается системой уравненийпервого приближения для системы ,. При этом справедливо следующее утверждение: если все корни характеристического уравнения системы первого приближения имеют отрицательные действительные части, то её точка покоя, а также исходной системы асимптотически устойчива; если хотя бы один из корней характеристического уравнения системы первого приближения имеет положительную действительную часть, то её точка покоя, а также исходной системы неустойчива. Если же среди корней характеристического уравнения имеется хотя бы одно с нулевой действительной частью, а остальные – с отрицательной, то в этом случае исследование на устойчивость по первому приближению невозможно, так как начинает сказываться влияние членов второго порядка малости относительно.
В задачах 9.273-9.278 исследовать на устойчивость по первому приближению нулевое решение следующих систем:
9.273 9.274
9.275 9.276
9.277 9.278
В задачах 9.279-9.280 исследовать, при каких значениях параметра асимптотически устойчиво нулевое решение:
9.279 9.280
§4. Разностные уравнения.
Если неизвестная функция и заданная функцияявляются функциями одного целочисленного аргумента, то уравнение вида,, где- постоянные коэффициенты, называетсялинейным разностным уравнением (ЛРУ) го порядка с постоянными коэффициентами.Если , то уравнение называетсяоднородным.
Функция ,, обращающая разностное уравнение в тождество, называется егорешением.
Условия ,,…,, где,,…,- заданные числа, называются начальными условиями.
Общим решением РУ -го порядка называется решение, зависящее отпроизвольных постоянных, такое, из которого при надлежащем выборе значений постоянныхможно получить решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям,,…,.Частным решением называется решение , получаемое из общего при конкретных значениях постоянных.
Общее решение однородного ЛРУ -го порядкаищется, аналогично общему решению дифференциального уравнения, в виде, где- фундаментальная система его решений;- произвольные постоянные.
Фундаментальной системой решений однородного ЛРУ -го порядканазывается любая система излинейно независимых частных решений,,…,этого уравнения.
Фундаментальная система решений строится на основе характера корнейхарактеристического уравнения . А именно:1) если - действительный простой корень характеристического уравнения, то ему в ФСР соответствует частное решениеразностного уравнения;2) если - действительный корень кратности, то ему в ФСР соответствуетлинейно независимых частных решений:,,,…,;3) если - пара простых комплексно-сопряжённых корней характеристического уравнения, то ей в ФСР соответствует два линейно независимых частных решения:,, где,.
Общее решение неоднородного линейного разностного уравнения имеет вид, где- общее решение соответствующего однородного разностного уравнения,- какое-нибудь частное решение данного неоднородного уравнения.
Как и в случае дифференциальных уравнений, частное решение разностного уравнения с правой частью специального видаищетсяметодом неопределённых коэффициентов в виде , где, если число, для которогои, не является корнем характеристического уравнения, иравно кратности корняв противном случае;и- полные многочлены степенис неопределёнными коэффициентами. Примерами полных многочленов с неопределёнными коэффициентами степенисоответственно являются:,,,,…. Для нахождения коэффициентов многочленови, надо подставить решениев неоднородное разностное уравнение и приравнять коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях полученного равенства. В результате получим систему уравнений, решив которую, найдём значения коэффициентов.
В задачах 9.281-9.288 найти общие решения следующих однородных разностных уравнений: