2.2 Даны векторы и. Коллинеарны ли векторыи?

2.3 Дано Доказать, что- трапеция.

2.4 В треугольникедано, , точка - середина стороны. Выразить векторчерез векторыи.

2.5 В треугольнике:- точка пересечения медиан треугольника,и. Разложитьипо векторами.

2.6 Векторы ,служат диагоналями параллелограмма. Выразить векторычерез векторыи.

2.7 В треугольникесторонаточкамииразделена на три равные части. Выразить векторчерез векторыи, если.

2.8 В треугольникепроведены медианы. Представить векторычерез векторыи. Найти сумму векторов.

2.9 В треугольнике:и, где,. Полагаяи , выразить и через векторы и.

2.10 Точки K и L служат серединами сторон ипараллелограммаВыразить векторыичерез векторыи

2.11 Точки ислужат серединами стороничетырехугольникаДоказать, что

2.12 Дан тетраэдрВыразить через векторывекторначалом которого служит серединаE ребра OA, а концом - середина F ребра BC.

2.13 Даны два треугольника иВыразить векторсоединяющий точки пересечения медиан этих треугольников, через векторы

2.14 Точки и служат серединами диагоналейиче-тырёхугольникаДоказать, что

2.15 На сторонепараллелограммаотложен отрезока на диагонали- отрезокДоказать, что векторыколлинеарны и найти отношение

2.16 Дан тетраэдр ABCD. Выразить через векторы ,,:а) вектор , где- медиана грани;б) вектор где- точка пересечения медиан граниBCD.

§2. Базис и координаты вектора.

Базисом в пространстве называется упорядоченная тройка некомпланарных векторов,базисом на плоскости – упорядоченная пара неколлинеарных векторов, базисом на прямой – любой ненулевой вектор на этой прямой. Базис, в котором все векторы попарно перпендикулярны и имеют единичную длину, называетсяортонормированным. Векторы ортонормированного базиса обозначаются: и, и называютсябазисными ортами.

Всякий геометрический вектор может быть разложен единственным образом по векторам базиса, коэффициенты разложения называются при этом координатами вектора в данном базисе. Например, если - базиси, то всегда существует единственное разложение:, где числа- координаты векторав базисе, при этом пишут. Если взафиксирован ортонормированный базиси, то равносильны записи:и(в записи вектора в координатной форме ортонормированный базис не указывают).

2.17 В трапецииотношение оснований. Принимая за базис векторыинайти координаты векторов

2.18 Вне плоскости параллелограмма взята точкаВ базисе из векторовнайти координаты:

а) вектора где-точка пересечения диагоналей параллелограмма;б) вектора где- середина стороны

2.19 Дан тетраэдр . В базисе из рёбер,инайти координаты вектора, где- точка пересечения медиан основания.

2.20 В трапецииотношение оснований. Принимая за базис векторынайти координаты векторов

2.21 В тетраэдре медиана граниделится точкойв отношении. Найти координаты векторав базисе из рёбер,,.

2.22 Дан треугольник ,,. Прямаяпересекаетв точке. Найти координаты векторав базисе из векторови.

2.23 Заданы векторы Найти разложение по базисувектора:

а) б)в)

2.24 Зная разложение векторов ипо трем некомпланарным векторамипроверить, будут ли векторыикомпланарны:

а)

б) ;

в)

2.25.Даны векторы Подобрать числатак, чтобы векторыобразовывали замкнутую ломаную линию, если начало каждого последующего вектора совместить с концом предыдущего.

2.26. Даны три некомпланарных вектора . Вычислить значения, при которых векторы,компланарны.

§3. Длина вектора. Направляющие косинусы. Координаты точки. Расстояние между точками. Деление отрезка в данном отношении.

Декартовой прямоугольной системой координат в пространстве называется совокупность точки (начало координат) и правого ортонормированного базисаи обозначается. Прямые,,, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называютсякоординатными осями: – осью абсцисс,– осью ординат,– осью аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называютсякоординатными плоскостями. Базис -называетсяправым, если из конца вектора кратчайший поворот от вектораквиден совершающимся против хода часовой стрелки, в противном случае он – левый.

Проекцией вектора на вектор называется число .Ортом вектора , называется вектор, имеющий единичную длину и направление вектора:.

Пусть - произвольная точка пространства, в котором введена система координат=.Радиус-вектором точки называется вектор, представляемый единственным образом в виде:, где числаявляющиеся координатами радиус-вектора, совпадают с проекциями векторана базисные ортыи(на координатные осии):;;.Координатами точки в системе координатназываются координаты её радиус-вектораи пишут. В свою очередь, координаты точкиполностью определяют её радиус-вектор.

Всякий геометрический вектор в системе координат, всегда можно представить как радиус-вектор некоторой точки и записать в виде:. Представление геометрических векторов в координатной форме, позволяет выполнять действия над ними, как над арифметическими векторами, по формулам:

;

.

Условие коллинеарности (параллельности) векторов и, заданных координатами, записывается в виде:,.

Длина вектора, определяется формулой:.Направляющими косинусами вектора называются числа:,,, при этом.

Координаты вектора ,заданного двумя точками инаходятся по формуле:.

Расстояние между точками иопределяется как длина вектораи находится по формуле:.

Координаты точки делящей отрезок в отношении находятся по формулам:,,(приотрезокточкойделится пополам).

2.27 Заданы векторы ,,.

Найти : а) и координаты орта;

б) координаты вектора .

2.28 Заданы векторы ,,.

Найти: а) и координаты орта;

б) координаты вектора .

2.29 Найти длину и направляющие косинусы вектора если.

2.30 Определить координаты вектора , если известно, что он направлен в противоположную сторону к вектору, и его модуль равен 5.

2.31 Найти вектор , коллинеарный вектору, образующий с ортомострый угол и имеющий длину.

2.32 Найти координаты вектора , длина которого равна 8, зная, что он образует с осьюOx угол , с осью Oz - угол , а с осьюOy - острый угол.

2.33 Найти вектор , образующий с ортомугол, с ортом- угол, если.

2.34 Найти вектор , образующий со всеми тремя базисными ортами равные острые углы, если.

2.35 Определить расстояние между двумя точками:

а) и;и;

б) и;и.

2.36. Определить ординату точки , зная, что абсцисса ее равна, а расстояние до точкиравно.

2.37 На оси ординат найти точку, отстоящую от точки на расстояние 5 единиц.

2.38 На оси абсцисс найти точку, равноудаленную от начала координат и точки

2.39 На оси Oz найти точку, равноудаленную от точек: и

2.40 Один из концов отрезканаходится в точкеА(2,3), его серединой служит точка . Найти другой конец отрезка.

2.41. Найти вершины треугольника, зная середины его сторон:,

2.42 Даны середины сторон треугольника Найти координаты его вершин.

2.43 Вычислить длину медиан треугольника, зная координаты его вершин:

2.44 Даны две точки и. В каком отношении делит отрезокточкаС пересечения отрезка АВ с биссектрисой первого и третьего координатных углов?

2.45 Даны две смежные вершины параллелограмма ABCD: иВ(2,6) и точка пересечения его диагоналей М(3,1). Найти две другие вершины параллелограмма.

2.46 Найти точку , равноудаленную от трех точек:

2.47 На координатной плоскости найти точку, одинаково удаленную от трех точек:и

2.48 Найти точку М, отстоящую от точки на расстояние 9, зная направляющие косинусы вектора: 2/3,,1/3.

2.49 Зная две противоположные вершины ромба иС(10,11), найти две другие его вершины при условии, что длина стороны ромба равна 10.

2.50. Дана точкаНайти точкуВ при условии, что точка С пересечения прямой с осью ординат делит отрезокв отношении, равном, а точкаD пересечения прямой с осью абсцисс делит отрезок в отношении.

2.51 Даны две вершины треугольника: Найти третью вершинуС, зная, что середина стороны АС лежит на оси 0y, а середина стороны ВС на плоскости 0xz.

2.52 Найти отношение, в котором плоскость 0yz делит отрезок