- •1.1.Основные методы вычисления неопределённого интеграла.
- •7.12 А); б); в).
- •7.51 А); б).
- •7.82 А); б); в).
- •7.91. 7.92. 7.93.
- •Основные свойства определённого интеграла:
- •7.198 А); б); в).
- •7.205 . 7.206. 7.207.
- •7.220 . 7.2217.222.
- •7.246 А) ;
- •7.247 А) ;
- •7.248 А) ;
- •7.249 А) ;
- •4.2 Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики, физики и экономики.
7.82 А); б); в).
7.83 а); б); в).
7.84 а); б); в).
7.85 а); б); в).
7.86 а); б); в).
7.87 а); б); в).
7.88 а); б); в).
7.89 ; 7.90.
Интегралы вида , где-рациональная функция относительно аргументови, приводятся к интегралам вида, где-рациональная функция относительно аргумента, с помощьюуниверсальной тригонометрической подстановки . При этом используются формулы:,,.
Применение универсальной подстановки, иногда приводит к громоздким вычислениям. В частных случаях используют подстановки:
1) , если, при этом:,;
2) , если, при этом:,;
3) , еслиили, при этом:,,;
4) , если, при этом. Здесь- рациональная функция относительно аргументов,.
Интегралы вида , где,- целые неотрицательные числа, вычисляют, преобразуя подынтегральную функцию с помощью формул:,.
Интегралы вида ,, вычисляют, преобразуя подынтегральную функцию по формулам:
;
;
.
В задачах 7.91-7.118 найти следующие интегралы от тригонометрических функций:
7.91. 7.92. 7.93.
7.94. 7.95. 7.96.
7.97. 7.98. 7.99.
7.100. 7.101. 7.102.
7.103 . 7.104.
7.105. 7.106. 7.107.
7.108. 7.109. 7.110.
7.111. 7.112. 7.113.
7.114. 7.115. 7.116.
7.117. 7.118.
Интегрирование гиперболических функций аналогично интегрированию тригонометрических функций. При этом используются формулы:
; ;;.
В задачах 7.119-7.130 найти следующие интегралы от гиперболических функций:
7.119. 7.120. 7.121. 7.122. 7.123. 7.124.
7.125. 7.126. 7.127.
7.128 . 7.129. 7.130.
Интегралы вида , где-рациональная функция своих аргументов,-целые числа, вычисляются с помощью подстановки, где- наименьший общий знаменатель дробей.
Вычисление интегралов вида , где-рациональная функция своих аргументов, выделением полного квадрата в квадратном трёхчленеи заменой, сводится к вычислению интегралов вида:
1) ; 2); 3),где - рациональная функция своих аргументов.
Последние интегралы, соответственно, с помощью тригонометрических или гиперболических подстановок:
1)или ;
2) или ;
3) или
приводятся к интегралам вида или, где- рациональная функция своих аргументов
В задачах 7.131-7.140 найти следующие интегралы от иррациональных функций:
7.131 а) ; б); в).
7.132 а); б); в).
7.133 а); б); в).
7.134а); б);в)
7.135 а); б); в).
7.136. 7.137. 7.138
7.139 . 7.140.
1.3 Смешанные задачи на интегрирование.
В задачах 7.141-7.180 найти следующие интегралы:
7.141 . 7.142. 7.143.
7.144. 7.145. 7.146.
7.147. 7.148. 7.149. 7.150. 7.151. 7.152.
7.153. 7.154. 7.155.
7.156. 7.157. 7.158
7.159. 7.160. 7.161. 7.162. 7.1637.164. 7.165. 7.166. 7.167. 7.168. 7.169. 7.1707.171. 7.1727.173. 7.174. 7.175.
7.176. 7.177.
7.178. 7.179. 7.180.
§2.Определённый интеграл и методы его вычисления.
К понятию определённого интеграла можно прийти, решая задачу о вычислении площади криволинейной трапеции, т.е. фигуры, заключённой между прямыми ,,и кривой. Число, равное площади криволинейной трапеции, причём площадь той части, которая лежит выше осиберётся со знаком «+», и ниже её – со знаком «» и называетсяопределённым интегралом от функции на отрезке. Определённый интеграл обозначается, где числа,называютсянижним и верхним пределами интегрирования.
Функция , для которой на отрезкесуществует определённый интеграл, называетсяинтегрируемой на этом отрезке. Достаточным условием интегрируемости функции на отрезкеявляется её непрерывность на данном отрезке.
Если функция интегрируема на, то, по определению, полагают
, .