раб тетрадь конт раб

1.4. Контрольные вопросы

1. Назначение Mathcad

MathCAD является математическим редактором, позволяющим проводить разнообразные научные и инженерные расчеты, начиная от элементарной арифметики и заканчивая сложными реализациями численных методов.

2. Запуск Mathcad

Двойной щелчок на пиктограмме Mathcad вызывает появление заставки. Затем открывается окно приложения.

3. Основные элементы окна Mathcad

Сверху вниз располагаются:

- заголовок окна;

- строка меню;

- панели инструментов Standard (стандартная), Formatting (форматирования), Resources (ресурсы);

- рабочая область;

- строка состояния.

4. Назначение меню Mathcad

Назначение пунктов меню, на которые наведен указатель мыши, появляется в виде подсказки слева на строке состояния (в нижней части окна MathCAD).

Строка меню содержит девять заголовков, щелчок мыши на каждом из которых приводит к появлению соответствующего меню с перечнем команд:

• File (Файл)–команды, связанные с созданием, открытием, сохранением, пересылкой по электронной почте и распечаткой на принтере файлов с документами;

• Edit (Правка) –команды, относящиеся к правке текста (копирование, вставка, удаление и т.п.);

• View (Вид) –команды, управляющие внешним видом документа в окне редактора Mathcad, а также команды, создающие файлы анимации;

• Insert (Вставка) – команды вставки различных объектов в докуметы;

• Format (Формат) –команды форматирования текста, формул и графиков;

• Tools (Инструменты) –команды управления вычислительным процессом и дополнительными возможностями;

• Symbolisc (Символика) –команды символьных вычислений;

• Window (Окно) –команды управления расположением окон с различными документами на экране;

• Help (Справка) –команды вызова справочной информации, сведений о версии программы.

5. Назначение панели инструментов Mathcad

Mathcad снабжен дополнительными средствами для ввода и редактирования математических символов, одним из которых является панель инструментов Math (рис.1). Она содержит инструменты для вставки в документы математических объектов (операторов, графиков, элементов программ и т.п.). Панель содержит девять кнопок, нажатие каждой из которых приводит к появлению на экране еще одной панели инструментов:

• Calculator – служит для вставки основных математических операций;

• Graph (График) – для вставки графиков;

• Matrix (Матрица) – для вставки матриц и матричных операторов;

• Evaluation (Выражения) – для вставки операторов управления вычислениями;

• Calculus (Вычисления) – для вставки операторов интегрирования, дифференцирования, суммирования;

• Boolean (Булевы операторы) – для вставки логических (булевых) операторов;

• Programming (Программирование) – для программирования средствами Mathcad;

• Greek (Греческие символы) – для вставки греческих символов;

• Symbolic – для вставки символьных операторов.

6. Назначение панели форматирования Mathcad

Форматирование( Formatting) — для форматирования (изменения типа и размера шрифта, выравнивания и т. п.) текста и формул;

7. Назначение математической панели Mathcad

Панель Математика (Math) предназначена для вызова на экран еще девяти панелей , с помощью которых, собственно, и происходит вставка математических операций в документы. В прежних версиях Mathcad эти математические панели инструментов назывались палитрами (palettes) или наборными панелями. Чтобы вызвать какую-либо из них, нужно нажать соответствующую кнопку на панели Math.

8. Ввод, редактирование и вычисление выражений

Ввести математическое выражение можно в любом пустом месте. Для этого поместите курсор ввода (небольшой крестик) в желаемое место документа, щелкнув в нем мышью, и просто начинайте вводить формулу.

Чтобы изменить формулу, щелкните на ней мышью, поместив, таким образом, в ее область линии ввода, и перейдите к месту, которое хотите исправить.

Перед началом работы на экране курсор имеет вид крестика. В момент ввода выражения курсор приобретает вид синего уголка, охватывающего вводимое выражение. В рабочем документе введите какие-либо буквенные выражения и присвойте им численные значения, как показано слева вверху на рис. 1.4. Имя выражения (все, что находится слева от оператора присваивания) может состоять из латинских, русских, греческих и других букв, а также цифр, знаков подчеркивания (_), штриха (`), процента (%) и бесконечности (Ґ), вводимых с клавиатуры.

9. Использование переменных в Mathcad

Для определения переменной, достаточно ввести ее имя и присвоить некоторое значение, для чего служит оператор присваивания, который вводится с помощью клавиши <:> или нажатием соответствующей кнопки Definition (Присваивание) на панели инструментов Calculator или Evaluation (Выражения). Затем, в появившийся местозапонитель, ввести новое значение переменной.

10. Создание и использование собственных функций пользователя

Разработчики Mathcad сделали ставку на расширение системы в соответствии с потребностями пользователя. Для этого назначены дополнительные библиотеки и пакеты расширения, которые можно приобрести отдельно и которые имеют дополнительные функции, встраиваемые в систему при установке, а также электронные книги с описанием методов решения специфических задач, с примерами действующих алгоритмов и документов, которые можно использовать непосредственно в собственных расчетах. Кроме того, в случае необходимости и при условии наличия навыков программирования в C, есть возможность создания собственных функций и их прикрепления к ядру системы через механизм DLL.

11. Переменные с заданным диапазоном изменения значений и переменные с индексами

Переменные являются поименованными объектами, имеющими некоторое значение, которое может изменяться по ходу выполнения программы. Переменные могут быть числовыми, строковыми, символьными и т.д. Значения переменным задаются с помощью знака присвоить (: =).

Внимание. MathCAD прописные и строчные буквы воспринимает как разные идентификаторы.

Системные переменные

В MathCAD содержится небольшая группа особых объектов, которые нельзя отнести ни к классу констант, ни к классу переменных, значения которых определены сразу после запуска программы. Их правильнее считатьсистемными переменными. Это, например, TOL [0.001]- погрешность числовых расчетов, ORIGIN [0] -- нижняя граница значения индекса индексации векторов, матриц и др. Значения этим переменным при необходимости можно задать другие.

Ранжированные переменные

Эти переменные имеют ряд фиксированных значений, либо целочисленных, либо изменяющихся с определенным шагом от начального значения до конечного.

Для создания ранжированной переменной используется выражение:

Name =N_begin,(N_begin+Step)..N_end,

где Name -- имя переменной;

N_begin -- начальное значение;

Step -- заданный шаг изменения переменной;

N_end -- конечное значение.

Ранжированные переменные широко применяются при построении графиков. Например, для построения графика некоторой функции f(x) прежде всего необходимо создать ряд значений переменной x -- для этого она должна быть ранжированной переменной.

Переменная с индексом -- это переменная, которой присвоен набор не связанных друг с другом чисел, каждое из которых имеет свой номер (индекс).

Ввод индекса осуществляется нажатием левой квадратной скобки на клавиатуре или при помощи кнопки x_n на панели Калькулятор.

В качестве индекса можно использовать как константу, так и выражение. Для инициализации переменной с индексом необходимо ввести элементы массива, разделяя их запятыми.

12. Построение графиков функций

Создание графиков

В Mathcad встроено несколько различных типов графиков, которые можно разбить на две большие группы:

• Двумерные графики

  • XY (декартовый) график,

  • полярный график;

• Трехмерные графики

  • график трехмерной поверхности,

  • график линий уровня,

  • трехмерная гистограмма,

  • трехмерное множество точек,

  • векторное поле.

Чтобы создать график, например двумерный декартовый, необходимо:

1. Поместить курсор ввода в то место, куда требуется вставить график.

2. Нажмите на панели Graph (График) кнопку X-Y Plot для создания Декартового графика.

3. В результате в обозначенном месте документа появится пустая область графика с местозаполнителями, в один из которых нужно ввести функцию, а имя аргумента в другой.

В результате Mathcad создает график функции в пределах значений аргумента, по умолчанию принятых равными от –10 до 10.

13. Ввод и форматирование текста

Format (Формат) - команды форматирования текста, формул и графиков; Форматирование текста означает изменение типа шрифтов и их параметров ОперацияText... (Текст) доступна лишь по отношению к выделенному фраг менту текста и активна только в том случае, когда курсор мыши находится в текстовой области Эта операция позволяет выбрать шрифт из имеющегося набора и изменить его в выделенной области текста При использовании операции Text... появляется окошко Text Format с каталогом шрифтов

14. Копирование, перемещение, удаление фрагментов документа.

Перенос, копирование, вставка и удаление фрагментов. Пункт меню Правка/Вырезать или нажатие комбинации клавиш Сtrl+X переносят (вырезают) выделенный объект документа в буфер обмена данных. Выделить объект можно сплошным или пунктирным прямоугольником. Для выделения сплошным прямоугольником необходимо ввести в объект курсор и дважды щелкнуть левой кнопкой мыши. Для пересылки выделенного объекта в буфер обмена можно использовать и нажатие клавиши F3.

15. Использование Буфера Обмена при редактировании документа.

Многие из операций редактирования используют буфер обмена (Clipboard). Так называется специально организованная и динамически изменяющаяся область памяти в операционной системе Windows. В нее могут помещаться различные (обычно предварительно выделенные) объекты и документы. Буфер обмена можно использовать для организации обмена частями документа как в пределах текущего документа, так и между различными документами и даже приложениями.

16. Сохранение и загрузка документа.

Для того чтобы сохранить документ в формате Mathcad, выберите File / Save (Файл / Сохранить), либо нажмите клавиши <Ctrl>+<S> или кнопку Save на стандартной панели инструментов. Если созданный документ сохраняется впервые, на экран будет выведено диалоговое окно Сохранение (Save), в котором потребуется определить его имя

17. Просмотри печать документа

Чтобы распечатать экземпляр активного документа на принтере, нажмите клавиши <Ctrl>+<P> или кнопку с изображением принтера на стандартной панели инструментов.

Для более активного управления процессом печати служат следующие пункты меню File (Файл):

• Page Setup (Параметры страницы) — опции страницы вывода активного документа на печать (стандартный размер страницы, тип подачи бумаги, поля);

• Print Preview (Просмотр) — предварительный просмотр на экране вывода на печать активного документа;

• Print (Печать) — печать активного документа с возможностью выбора принтера (если установлено несколько принтеров), смены установок принтера (таких, как качество печати, разрешение, количество печатных копий документа и диапазон печатаемых страниц).

18. Численное дифференцирование и интегрирование функций.

19. Решение уравнений

Решение одного уравнения

 

Для простейших уравнений вида f(x) = 0 решение в Mathcad находится с помощью функции root.

root( f(х1, x2, …), х1, a, b )

Возвращает значение х1, принадлежащее отрезку [a, b], при котором выражение или функция f(х) обращается в 0. Оба аргумента этой функции должны быть скалярами. Функция возвращает скаляр.

Аргументы:

f(х1, x2, …) - функция, определенная где-либо в рабочем документе, или выражение. Выражение должно возвращать скалярные значения.

х1 - - имя переменной, которая используется в выражении. Этой переменной перед использованием функции root необходимо присвоить числовое значение. Mathcad использует его как начальное приближение при поиске корня.

a, b - необязательны, если используются, то должны быть вещественными числами, причем a < b.

Если после многих итераций Mathcad не находит подходящего приближения, то появится сообщение (отсутствует сходимость).

Эта ошибка может быть вызвана следующими причинами:

• Уравнение не имеет корней.

• Корни уравнения расположены далеко от начального приближения.

• Выражение имеет локальные max и min между начальным приближением и корнями.

• Выражение имеет разрывы между начальными приближениями и корнями.

• Выражение имеет комплексный корень, но начальное приближение было вещественным.

Чтобы установить причину ошибки, исследуйте график f(x). Он поможет выяснить наличие корней уравнения f(x) = 0 и, если они есть, то определить приблизительно их значения. Чем точнее выбрано начальное приближение корня, тем быстрее будет root сходиться.

Рекомендации по использованию функции root:

• Для изменения точности, с которой функция root ищет корень, нужно изменить значение системной переменной TOL. Если значение TOL увеличивается, функция root будет сходиться быстрее, но ответ будет менее точен. Если значение TOL уменьшается, то функция root будет сходиться медленнее, но ответ будет более точен. Чтобы изменить значение TOL в определенной точке рабочего документа, используйте определение вида . Чтобы изменить значение TOL для всего рабочего документа, выберите команду Математика  Параметры…  Переменные  Допуск сходимости (TOL).

• Если два корня расположены близко друг от друга, следует уменьшить TOL, чтобы различить их.

• Если функция f(x) имеет малый наклон около искомого корня, функция root(f(x), x) может сходиться к значению r, отстоящему от корня достаточно далеко. В таких случаях для нахождения более точного значения корня необходимо уменьшить значение TOL. Другой вариант заключается в замене уравнения f(x) = 0 на g(x) = 0

.

 

• Для выражения f(x) с известным корнем а нахождение дополнительных корней f(x) эквивалентно поиску корней уравненияh(x) = f(x)/(x - a). Подобный прием полезен для нахождения корней, расположенных близко друг к другу. Проще искать корень выражения h(x), чем пробовать искать другой корень уравнения f(x) = 0, выбирая различные начальные приближения.

Нахождение корней полинома

Для нахождения корней выражения, имеющего вид

v_nxⁿ + ... + v₂x² + v₁x + v₀,

лучше использовать функцию polyroots, нежели root. В отличие от функции root, функция polyroots не требует начального приближения и возвращает сразу все корни, как вещественные, так и комплексные.

Polyroots(v)

Возвращает корни полинома степени n. Коэффициенты полинома находятся в векторе v длины n + 1. Возвращает вектор длины n, состоящий из корней полинома.

Аргументы:

v - вектор, содержащий коэффициенты полинома.

Рисунок 11 иллюстрирует решение уравнений средствами Mathcad.

 

Решение систем уравнений

 

MathCAD дает возможность решать также и системы уравнений. Максимальное число уравнений и переменных равно 50. Результатом решения системы будет численное значение искомого корня.

Для решения системы уравнений необходимо выполнить следующее:

• Задать начальное приближение для всех неизвестных, входящих в систему уравнений. Mathcad решает систему с помощью итерационных методов.

• Напечатать ключевое слово Given. Оно указывает Mathcad, что далее следует система уравнений.

• Введите уравнения и неравенства в любом порядке. Используйте [Ctrl]= для печати символа =. Между левыми и правыми частями неравенств может стоять любой из символов <, >,  и  .

• Введите любое выражение, которое включает функцию Find, например: а:= Find(х, у).

Find(z1, z2, . . .)

Возвращает точное решение системы уравнений. Число аргументов должно быть равно числу неизвестных.

Ключевое слово Given, уравнения и неравенства, которые следуют за ним, и какое-либо выражение, содержащее функцию Find, называют блоком решения уравнений.

Следующие выражения недопустимы внутри блока решения:

• Ограничения со знаком  .

• Дискретный аргумент или выражения, содержащие дискретный аргумент в любой форме.

• Неравенства вида a < b < c.

Блоки решения уравнений не могут быть вложены друг в друга, каждый блок может иметь только одно ключевое слово Given и имя функции Find.

Функция, которая завершает блок решения уравнений, может быть использована аналогично любой другой функции. Можно произвести с ней следующие три действия:

• Можно вывести найденное решение, напечатав выражение вида:

Find(var1, var2,…) =.

• Определить переменную с помощью функции Find:

a := Find(x) - скаляр,

var := Find(var1, var2,…) - вектор.

Это удобно сделать, если требуется использовать решение системы уравнений в другом месте рабочего документа.

• Определить другую функцию с помощью Find

f(a, b, c, …) := Find(x, y, z, …).

Эта конструкция удобна для многократного решения системы уравнений для различных значений некоторых параметровa, b, c,…, непосредственно входящих в систему уравнений.

Сообщение об ошибке  (Решение не найдено) при решении уравнений появляется, когда:

• Поставленная задача может не иметь решения.

• Для уравнения, которое не имеет вещественных решений, в качестве начального приближения взято вещественное число и наоборот.

• В процессе поиска решения последовательность приближений попала в точку локального минимума невязки. Для поиска искомого решения нужно задать различные начальные приближения.

• Возможно, поставленная задача не может быть решена с заданной точностью. Попробуйте увеличить значение TOL.

Пример 1 Рисунка 12 иллюстрирует решение системы уравнений в Mathcad.

 

 

Для решения линейных систем уравнений используется функция lsolve.

Приближенные решения

Функция Minner очень похожа на функцию Find (использует тот же алгоритм). Если в результате поиска не может быть получено дальнейшее уточнение текущего приближения к решению, Minner возвращает это приближение. Функция Find в этом случае возвращает сообщение об ошибке. Правила использования функции Minner такие же, как и функции Find.

Minerr(z1, z2, . . .)

Возвращает приближенное решение системы уравнений. Число аргументов должно быть равно числу неизвестных.

Если Minner используется в блоке решения уравнений, необходимо всегда включать дополнительную проверку достоверности результатов.

 

Символьное решение уравнений

 

В Mathcad можно быстро и точно найти численное значение корня с помощью функции root. Но имеются некоторые задачи, для которых возможности Mathcad позволяют находить решения в символьном (аналитическом) виде.

Решение уравнений в символьном виде позволяет найти точные или приближенные корни уравнения:

• Если решаемое уравнение имеет параметр, то решение в символьном виде может выразить искомый корень непосредственно через параметр. Поэтому вместо того, чтобы решать уравнение для каждого нового значения параметра, можно просто заменять его значение в найденном символьном решении.

• Если нужно найти все комплексные корни полинома со степенью меньше или равной 4, символьное решение даст их точные значения в одном векторе или в аналитическом или цифровом виде.

Команда Символы  Переменные  Вычислить позволяет решить уравнение относительно некоторой переменной и выразить его корни через остальные параметры уравнения. Чтобы решить уравнение символьно необходимо:

• Напечатать выражение (для ввода знака равенства используйте комбинацию клавиш [Ctrl]=).

• Выделить переменную, относительно которой нужно решить уравнение, щелкнув на ней мышью.

• Выбрать пункт меню Символы  Переменные  Вычислить.

Нет необходимости приравнивать выражение нулю. Если Mathcad не находит знака равенства, он предполагает, что требуется приравнять выражение нулю.

Чтобы решить систему уравнений в символьном виде, необходимо выполнить следующее:

• Напечатать ключевое слово Given.

• Напечатать уравнения в любом порядке ниже слова Given. Удостоверьтесь, что для ввода знака = используется [Ctrl]=.

• Напечатать функцию Find, соответствующую системе уравнений.

• Нажать [Ctrl]. (клавиша CTRL, сопровождаемая точкой). Mathcad отобразит символьный знак равенства  .

• Щелкнуть мышью на функции Find.

Пример 2 Рисунка 12 иллюстрирует символьное решение системы уравнений в Mathcad.

20. Символьное дифференцирование и интегрирование функций.

21. Вставка результатов вычислений Mathcad в документ Word.