МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ 1 КУРС 2 СЕМЕСТР / ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

x1 2 2 57 5 4 73 .

Итак, система совместна, имеет бесчисленное множество решений ( - любое вещественное число).

Ответ: x1 4 73 ; x2 5 75 ; x3 .

x1 x2 2x3 3x4 4x5 1,

2.x1 x2 x3 2x4 3x5 3,2x1 2x2 3x3 5x4 x5 4.

Решение:

Находим ранги основной и расширенной матриц, приводя матрицы к ступенчатому виду (см. пример №1).

Получаем, что rg A = rg (A|B) = 2, и система совместна. В качестве базисного минора берем

М2= 01 21 =1 0

Базисными переменными будут x1 и х3, а переменные х2, х4, х5 - параметры.

Пусть x2 , x4 , x5 .

Запишем систему, равносильную исходной и содержащую параметры

, , .

x1 2x3 3 4 1,x3 7 2.

31

x1 5 10 .

Итак, система совместна, имеет бесчисленное множество решений.

Решение:

Находим ранги основной и расширенной матриц, приводя матрицы к ступенчатому виду (см. пример №1)

Нетрудно видеть, что определитель основной матрицы равен 3, следовательно, rg A = rg (A|B) = 3, и система совместна. Запишем систему, равносильную исходной

x1 2 x2 x3 1.

Итак, система имеет единственное решение.

Ответ: x1 1; x2 2 ; x3 3 .

x1 2x2 3x3 4,

4.2x1 3x2 3x3 1,3x1 5x2 6x3 7.

32

Решение:

Находим ранги основной и расширенной матриц, приводя матрицы к ступенчатому виду:

Получаем, что rg A = 2, rg (A|B) = 3. На основании теоремы КронекераКапелли получаем, что система несовместна.

Ответ: система решения не имеет.

6.3.Однородные системы

Система линейных алгебраических уравнений называется однородной, если все свободные члены её уравнений равны нулю:

Поскольку основная и расширенная матрицы данной системы отличаются только столбцом, целиком составленными из нулей, ранги этих матриц равны, т.е. однородная система всегда совместна. В частности, эта система имеет очевидное решение x1 = x2 =…= xn = 0, называемое тривиальным.

Из теоремы Кронекера-Капелли следует, что если rgA=n (числу неизвестных), то тривиальное решение однородной системы является единственным. Если же rgA=r<n, то однородная система имеет бесконечное множество нетривиальных решений.

Схема исследования и решения однородных систем аналогична схеме исследования и решения неоднородных систем с той разницей, что нет необходимости преобразовывать расширенную матрицу системы, а достаточно преобразовать основную матрицу.

6.4. Задачи для самопроверки

Исследовать и решить (в случае совместности) системы:

6.1.

33

6.2.

3x1 5x2 2x3 4x4 2,

7x1 4x2 x3 3x4 5,5x1 7x2 4x3 6x4 3.

6.3.

6.4.

2x1 x2 4x3 0,3x1 5x2 7x3 0,4x1 5x2 6x3 0.

6.5.

Ответы.

6.1.x1= α; x2= β; x3=22α33β- 11; x4= -16α+24β+ 8.

6.2.Система не совместна.

6.3.x1=3; x2=2; x3=1.

6.4.x1=13α; x2=2α; x3=7α.

6.5.x1= 2α4β; x2= α; x3=15β; x4= β.

6.6.x1 = x2 = x3= 0.

34

7. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

7.1. Векторы. Линейные операции над векторами

Упорядоченная пара точек (направленный отрезок прямой) называется связанным вектором и обозначается либо AB ,CD , … , либо a , b , … Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым и обозначается 0 .

Расстояние от начала до конца вектора называется его модулем (длиной) и

обозначается |AB | или |a |.

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной

прямой или на параллельных прямых. Обозначение: a ||b или AB ||CD . Векторы называются компланарными, если они расположены в одной

плоскости или в параллельных плоскостях.

Два вектора называются равными (AB =CD , или a =b ), если они коллинеарны, одинаково направлены и равны по длине.

Множество равных векторов называется свободным вектором.

Если даны два вектора a и b , то их сумму c = a +b можно определить по правилу треугольника (смотри рисунок 1)

Рисунок 1

Или по правилу параллелограмма (смотри рисунок 2)

Рисунок 2

Свойства сложения векторов:

1)коммутативность: a +b =b + a ;

2)ассоциативность: a +(b +c )=(a +b )+c ;

3)a +0 = a для любого вектора a ;

4)для любого вектора a существует противоположный ему вектор, обозначаемый - a , такой, что a + (-a ) = 0 .

35

Произведением вектора a на вещественное число λ называется вектор b = λa , определяемый следующими условиями:

1)|b |= | λ | |a | ;

2)b || a ;

3)векторы a и b направлены одинаково, если λ > 0, противоположно, если

λ < 0 и b =0, если λ=0.

Свойства умножения вектора на число.

1)λ1 (λ2 a ) = (λ1 λ2 ) a ;

2)(λ1+λ2 ) a = λ1+ λ2 a -дистрибутивность относительно сложения чисел;

3)λ (a +b )=λ a + λ b -дистрибутивность относительно сложения векторов;

4)1· a = a для любого вектора a ;

5)(-1)· a = - a для любого вектора a ;

6)0· a =0 ;

7)λ ·0 =0 .

7.2.Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов

Рассмотрим n векторов a1 , a2 ,…, an . Любой вектор b = n i ai , где

комбинации. О векторе b говорят, что он разложен по векторам a1 , a2 ,…, an . Линейная комбинация векторов называется тривиальной , если 1 = 2 =…= = n = 0 и нетривиальной , если хотя бы один из её коэффициентов отличен от

нуля.

Векторы a1 , a2 ,…, an называют линейно зависимыми, если существует

нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору.

1 = 2 =…= n =0, векторы называют линейно независимыми.

Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Четыре вектора линейно зависимы.

36

Пусть даны два неколлинеарных вектора e1 и e2 . Любой компланарный с ними вектор a раскладывается по ним, причем, единственным образом.

Пусть даны три некомпланарных вектора e1 , e2 , e3 . Любой вектор a

раскладывается по ним, причем единственным образом. Назовем базисом на плоскости два неколлинеарных упорядоченных (взятых в определенном порядке) вектора.

Назовем базисом в пространстве три некомпланарных упорядоченных вектора.

Если в пространстве (на плоскости) выбран базис, то каждому вектору a однозначно сопоставлена упорядоченная тройка (пара) чисел, называемых

координатами вектора a в данном базисе.

Если a = αe1 + βe2 + γe3 , то можно писать a { α; β; γ }.

При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

При сложении двух векторов складываются их соответствующие координаты.

Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны.

Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда определитель, строками которого являются координаты этих векторов, равен нулю.

Базис называется ортонормированным, если его векторы имеют единичную длину, а углы между любыми двумя векторами равны π / 2 . Базис на плоскости называется правым, если кратчайший поворот от первого вектора ко второму происходит против часовой стрелки. В противном случае базис называется левым (смотри рисунок 3).

Рисунок 3

Базис в пространстве называется правым, если кратчайший поворот от первого базисного вектора ко второму виден из конца третьего вектора происходящим против часовой стрелки. В противном случае базис называется левым (смотри рисунок 4).

37

Рисунок 4

Правый ортонормированный базис в пространстве будем обозначать i , j ,

k .

Совокупность условий, позволяющих однозначно определить положение точки называется системой координат.

Если задать в пространстве фиксированную точку О (начало координат) и

7.3. Скалярное и векторное произведение двух векторов. Смешанное произведение трёх векторов.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

ab abcos(a,b) .

Замечание: в литературе используют и другое обозначение скалярного произведения: (a,b) .

Свойства скалярного произведения:

1)коммутативность: ab ba ;

2)(ab) ( a)b a( b) ;

3)дистрибутивность:(a b)c ac bc ;

4)a b ab 0 ;

5)aa a2 для любого вектора a , тогда aaa .

ортогонормированном базисе равно сумме произведений одноимённых координат.

38

2)c a и c b ;

3)a,b,c образуют правую тройку векторов.

Из этого определения следует, что модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах a и b , приведённых к общему началу.

Замечание: в литературе используют и другое обозначение векторного произведения:[ a,b ].

Свойства векторного произведения:

1)a b b a (антикоммутативность);

2)(a b) ( a) b a ( b) ;

3)(a b) c a c b c ;

4)ab тогда и только тогда, когда a b 0 .

произведением трёх векторов.

Замечание: в литературе используется и другое обозначение смешанного произведения: (a,b,c) .

Смешанное произведение трёх некомпланарных векторов a,b и c по модулю численно равно объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах, оно положительно, если тройка a,b,с - правая и отрицательно, если она левая.

Свойства смешанного произведения:

1) abc bca cab bac acb cba ;

39

2)(abc) ( a)bc a( b)c ab( c) ;

3)(a1 a2 )bc a1bc a2bc ;

4)a,b,c компланарны тогда и только тогда, когда abc 0 ;

Если a xai ya j zak , b xbi yb j zbk , c xci yc j zck , то xa ya za

abc xb yb zb . xc yc zc

Решение:

a b ab 0 .

ab ( i 3 j 2k )(4i 6 j k ) = 4 3 6 2 2 18 ; 4 3 6 2 2 18 ;

2 18 0, 9 .

Ответ: 9 .

4.Найти площадь параллелограмма с вершинами A(1;2;2), B(3;3;1) и

C(2;5;4)

40