Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный технологический институт (технический университет)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ 1 КУРС 2 СЕМЕСТР / ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

.pdf

Скачиваний:

117

Добавлен:

16.04.2015

Размер:

706.43 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

a23 минор

2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ n-го ПОРЯДКА

2.1. Основные определения и свойства

Пусть дана квадратная 4 4 - матрица

a11	a12	a13 a14

a21	a22	a23	a24	(2.1)
A a	a	a	a	(2.1)
31	32	33	34
	a42	a43
a41	a42	a43	a44
Минором Mij элемента aij	матрицы А назовем определитель 3 3 - матрицы,

получающейся из данной вычеркиваем i-й строки и j-го столбца. Например, для элемента

	a	a	a
	11	12	14
M23	a31 a32		a34	.
		a42	a44
	a41	a42	a44

Как и в п. 1.3, число

Aij ( 1)i j Mij

называется алгебраическим дополнением элемента aij .

Определителем четвертого порядка, соответствующим матрице (2.1), называется число

			a11 a12 a13 a14
det A A a21 a22						a23 a24
			a		a	a	a
			31		32	33		34
			a41 a42 a43 a44
и определяемое равенством
det A a11A11 a12 A12					a13 A13			a14 A14 .
Аналогично можно построить определения определителей любого
порядка.
Определителем n-го порядка,		соответствующим квадратной n n -
матрице
	a		a	... a
		11	12		1n
A	a12		a22	... a2n			,
A		...................					,
		...................

			an2
	an1		an2	... ann
называется число, обозначаемое
			a11 a12 ... a1n
det A A a21					a22 ... a2n
			...................

an1 an2 ... ann

и определяемое равенством

det A a11 A11 a12 A12 ... a1n A1n ,

где Aij - определитель (n-1)-го	порядка,	соответствующий квадратной
n 1 n 1 -матрице, которая	получается	из данной матрицы А

вычеркиванием первой строки и j-го столбца, умноженной на 1 1 j :

a21a22...a2 j 1a2 j 1 ... a2n

Aij 1 1 j a31a32...a3 j 1a3 j 1 ... a3n

..................................

an1an2...anj 1anj 1 ... ann

Число Aij по-прежнему называется алгебраическим дополнением

элемента aij .

Рассмотренные в п. 1.3 свойства определителей третьего порядка сохраняются и для определителей n-го порядка.

Для вычисления определителей порядка n 4 целесообразно использовать способ, аналогичный второму способу изложенному в п. 1.3, т.е. основанному на применении свойства 7 после предварительного преобразования определителя с помощью свойства 3.

2.2. Пример

Вычислить определитель четвертого порядка:

	1	2	3	4
	1	2	5	9
	2	0	3	7
	2	4	9	1
Заметив, что элемент a11 данного определителя равен 1, а a21 =1, a31 =2,
a41 =-2, преобразуем определитель,	вычитая			из элементов второй строки

элементы первой строки, из элементов третье строки – удвоенные элементы первой строки, а к четвертой строке прибавим удвоенные элементы первой строки. Получим

1	2	3	4
0	0	2	5
0	4	3	1
0	0	3	9

Преобразованный определитель удобно записать в виде суммы произведений элементов первого столбца на их алгебраические дополнения, так как первый столбец содержит всего один ненулевой элемент:

0	2	5
1A11 0A21 0A31 0A41 1 1 1 M11 M11 4	3	1
0	3	9

Таким образом, вычисление определителя четвертого порядка свелось к вычислению всего лишь одного определителя третьего порядка. Первый столбец минора M11 содержит всего один ненулевой элемент. Поэтому его целесообразно записать в виде суммы произведений элементов этого столбца

на их алгебраические дополнения, так как это не требует никаких предварительных преобразований:

				4A21		4 1 2 1 M21 4M21 4						2	5	132 .
				4A21		4 1 2 1 M21 4M21 4						3	9	132 .
2.3. Задачи для самопроверки
Вычислить определители четвертого порядка:
	1	2	3	4			2	3 4		5
2.1.	1	3	3	4 .		2.2.	3 5		2	4 .
	1	1	7	4			5	4	3 2
	1	2	5	9			4	2	5	3
	1	1	1	1			1	x	x2	x3
2.3.	1	2	4	8	.	2.4.	1	y	y2	y3	.
2.3.	1	3	9	27	.	2.4.	1	z	z2	z3	.
	1	3	9	27			1	z	z2	z3
	1	4	16 64				1	t	t 2	t3
	x		1	0 1					1 2a 1 a x
2.5.	1 x			0	1 .		2.6.		1 2b 2			b	x .
		1 1		0 x					1 2c 3 c x
		1 2 3			4				1 2d 4 d x
Ответы: 2.1. 20, 2.2.-2858,							2.3. 12, 2.4. t z t y t x z y z x y x ,
2.5. 3x2 9x , 2.6. 0.

3. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

3.1. Основные определения и свойства

Определения m n - матрицы, транспонированной матрицы и квадратной матрицы были даны ранее (см. «Определители»). Дадим еще ряд определений.

Две матрицы А и B называют равными: A B , тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые размеры и соответствующие элементы их равны.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается

	0	0 ...	0
	0	0 ...	0
	0	0 ...	0
O =	... ... ... ...			.
	... ... ... ...

	0	0 ...	0
	0	0 ...	0

Квадратная матрица называется диагональной, если все её элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю, т.е. aij 0 при i j.

Диагональная матрица называется единичной, если aii 1, i 1, 2, …, n, и обозначается

			1	0 ...	0
			0	1 ...	0
			0	1 ...	0
	En	... ... ...			... .

			0	0 ...	1
			0	0 ...	1
Суммой двух	m n - матриц А с элементами					aij и B с элементами
bij называется m n -	матрица С,	элементы			которой	cij aij bij . Отметим

основные операции сложения матриц:

1)коммутативность: A B B A;

2)ассоциативность: (A B) C A (B C) ;

3)A O A ;

4)для любой матрицы А существует противоположная матрица –А с

элементами aij , причем A ( A) O .

Разностью m n - матриц A и B называется сумма матриц A и –B:

		A B A ( B) .
Произведением m n -		матрицы А	на число	называется m n -
матрица, обозначаемая A ,		с элементами aij . Основными свойствами
операции умножения являются:
1)	ассоциативность: 1 ( 2 A) ( 1 2 )A ;
2)	дистрибутивность	относительно	операции	сложения	чисел:
	( 1 2 )A 1 A 2 A ;
3)	дистрибутивность	относительно	операции	сложения	матриц:

(A B) A B ;

4) 1 A A.

Произведением m p - матрицы А на p n матрицу B называется m n - матрица C AB , элементы которой сij , вычисляются по формуле

сij ai1b1 j ai2b2 j ... aipbpj	p	aik bkj .
	k 1

Следует обратить внимание на то, что операция умножения матриц определена тогда и только тогда, когда количество столбцов первого сомножителя равно количеству строк второго. Операция умножения матриц обладает свойствами:

1) некоммутативности, причем,

если m p , то произведение BA просто не существует,

если m p n , то произведение AB есть квадратная m m - матрица, произведение BA- n n - матрица, а потому понятие равенства для них не определено,

если m p n , то, хотя обе матрицы AB и BA имеют одинаковые размеры, вообще говоря AB BA;

2)ассоциативности: (AB)C A(BC) ;

3)дистрибутивности: (A B)C AC BC ;

4) если А - m n		-	матрица,				то для единичной					m m - матрицы Em
Em A A , а для единичной n n матрицы En									AEn A .
3.2. Примеры
1. Даны матрицы A, B, C, D.
2		0			1		1		2 1			1		1
	1	1				2			2 1			1		1
	1	1		;		2	3			1 2	; D			3
A	3	2		;	B	3	4	; C		1 2	; D		2	3	.
	3	2				3	4			3 5			3	4
	1	4				1	0			3 5			3	4
	1	4				1	0

Найти, если возможно, следующие матрицы:
а) 2А 3B ;		b) 5B 7C ;			c) 3C 2D ;					d) 15A 8D .
Решение:
a)	Матрицы			А и	B одного			размера			(4 2) , поэтому						матрица
	2A 3B существует. Найдем её:
		2		0	1		1	4		0		3		3	7		3
							3							9		4
			1	1		2	3		2	2			6	9		4	11
	2A 3B 2		3	2	3	3	4		6	4			9	12		3	8	.
			3	2		3	4		6	4			9	12		3	8

			1	4		1	0		2	8			3	0		5	8
			1	4		1	0		2	8			3	0		5	8

b)Матрицы B и С имеют разные размеры, соответственно (4 2)

	и (3 2) , поэтому матрица	5B 7C не существует.
c)	Матрицы С и D одного	размера (3 2) , поэтому матрица
	3С 2D существует. Найдем её:

2		1	1		1	6		3	2		2	4		1
	1							6			6			12
3C 2D 3		2	2	2	3		3			4			7		.
	3	5		3	4		9	15		6	8		15	7

d)Матрицы А и D имеют разные размеры, соответственно (4 2) и (3 2) , поэтому матрица 15A 8D не существует.

2. Даны матрицы А и B:

						1	2
				A		2	1			2 1	2
				A				;	B		.
						3	2			1 3
						3	2			1 3	4
						1	4
						1	4
Найти, если возможно, следующие матрицы:
a)	A B ;		b) B A .
Решение:
a) Размер матриц A и B согласован
						A			B =	C,
						(4 2)			(2 3)	(4 3)
						совпадает
поэтому матрица C A B существует и имеет размер (4 3) . Найдем её:
	1		2					1 2 ( 2) ( 1)			1 1 ( 2) 3	1 ( 2) ( 2)	4
		2	1	2 1	2			2	2 1 ( 1)		2 1 1 3	2 ( 2) 1 4
A B
		3									3 1 2 3	( 3) ( 2) 2 4
		3	2	1 3		4	3 2 2 ( 1)				3 1 2 3	( 3) ( 2) 2 4
		1	4					1 2 4 ( 1)			1 1 4 3	1 ( 2) 4 4
		1	4					1 2 4 ( 1)			1 1 4 3	1 ( 2) 4 4
	4	5	10
	3	5	0
	3	5	0
	8	3	14

	2	13	14
	2	13	14

b)Размер матрицы B и A не согласован

ВА,

(2 3)

(4 2)

не совпадает поэтому матрицы C B A не существует. 3. Даны матрицы А и B

	1	3	2	2		1	4
					и B	2	3	.
A
	2	4	1	1
						1	2

Найти, если возможно, следующие матрицы: a) A B ; b) B A .

Решение:
a) Размер матриц A и B не согласован
A	B,
(2 4)	(3 2)

не совпадает поэтому матрицы С A B не существует.

b) Размер матриц B и A согласован
B	A =	C,
(3 2)	(2 4)	(3 4)

совпадает

поэтому матрица C B A существует и имеет размер (3 4) . Найдем её:

	1	4	1	3	2	2
B A	2	3

			2	4	1	1
	1	2

	1 1 4 ( 2)			1 ( 3) 4 4				1 2 4 ( 1)					1 ( 2) 4 1
	2 1 ( 3) ( 2)			2 ( 3) ( 3) 4				2 2 ( 3) ( 1)
	2 1 ( 3) ( 2)			2 ( 3) ( 3) 4				2 2 ( 3) ( 1)					2 ( 2) ( 3) 1
	( 1) 1 2 ( 2)			( 1) ( 3) 2 4				( 1) 2 2 ( 1)
	( 1) 1 2 ( 2)			( 1) ( 3) 2 4				( 1) 2 2 ( 1)					( 1) ( 2) 2 1
	7	13	2	2
		18		7
	8	18	7	7
	5	11	4	4
	5	11	4	4
4. Даны матрицы А и B:
					2	4			1	1	2
				A	3	2	;		1	1	2
				A	3	2	;	B				.
									2	2	1
					1	2			2	2	1
					1	2
Найти, если возможно, следующие матрицы:
a) A B ;	b) B A .
Решение:
a) Размер матриц A и B не согласован
					A			B =		C,
					(3 2)		(2 3)		(3 3)

совпадает

поэтому матрица C A B существует и имеет размер (3 3) . Найдем её:

		2		4	1	1	2	2 1 4 2	2 ( 1) 4 ( 2)	2 2 4 1
A B			3	2	1	1	2	3 1 ( 2) 2	3 ( 1) ( 2) ( 2)	3 2 ( 2) 1
A B			3	2				3 1 ( 2) 2	3 ( 1) ( 2) ( 2)	3 2 ( 2) 1
					2	2	1
			1	2	2	2	1	( 1) 1 2 2	( 1) ( 1) 2 ( 2)
			1	2				( 1) 1 2 2	( 1) ( 1) 2 ( 2)	( 1) 2 2 1
	10		10	8
	1
	1		1	4
	3		3	0
	3		3	0

b) Размер матриц B и А согласован
B	A =	C,
(2 3)	(3 2)	(2 2)

совпадает

поэтому матрица С B A существует и имеет размер (2 2) . Найдем её:

		1 1	2	2	4		1 2 ( 1) 3 2 ( 1)			1 4 ( 1) ( 2) 2 2
B		1 1	2	3		2	1 2 ( 1) 3 2 ( 1)			1 4 ( 1) ( 2) 2 2
B	A			3		2
		2 2						3	1 ( 1)
		2 2	1	1	2		2 2 ( 2)	3	1 ( 1)	2 4 ( 2) ( 2) 1 2
				1	2
3		10

	3
	3	14
Заметим, что в рассматриваемой задаче									A B и	B A матрицы разных
размеров, соответственно (3 3)						и (2 2) .

3.3. Задачи для самопроверки.

3.1. Пусть

Вычислите: a) 2A 5B ; b) 3.2.

3.3.

	4			7	8						1		2		3
	A	0		1	1		,			B		7		1	1 .
		0		2		4						7		5
				2		4								5	2
1	A 4B ;	c) A						1	B .
3								7
		3			1	1			1		1		1
											1
			2		1	2				2	1		1	.
			1		2	3				1	0		1
			1		2	3				1	0		1

1		2	1 2		3	1	1		2	1
				1
	0	1	2	1	1	0		0	1	2	.
	3 1		1	1	2			3 1		1
	3 1		1	1	2	1		3 1		1

3.4.

	2		4	2	1
1 2
1 2	1	1 2		1 2		.
		3	1	3	1
		3	1	3	1

3.5.

													1					1
		1 1 1							1			3						3
																			.
													3				5
		1 2 1						2					3				5
												1						1
												1						1
3.6. Вычислите A B и B A , если
				1	2		3								1			1		1
	a)			1	2		3			,	B					1 2 4						;
	a)	A								,	B					1 2 4						;
				4	5		6
				4	5		6												3	9
															1				3	9
			2		1		1										1			2
			2		1		1						B					1 2				.
	b) A									,			B					1 2				.
					3
			0		3				5											3
																	1			3
3.7. Вычислите A B B A, если
			1	2	1										4			1		1
							,			B
	A		2 1		2		,			B			4					2 0			.
			1	2											1			2		1
			1	2	3										1			2		1
Ответы:
3.1.
				8					17			44								29			51		53
13 24 1
13 24 1			b) 3							3		3 ;						c) 7					7		7 .
a)		;	b) 3							3		3 ;						c) 7					7		7 .
	35 0 2								29														33		5
	35 0 2								29			6								1			33		5
				28					30			6								1			70
									30														70	28
3.2.
					6					2	1

						6				1	1		.
						8			1		4
						8			1		4
3.3.
						1				9	15
					5
					5					5		9		.
					12				26		32
					12				26		32
3.4.					1							4 .
					1			7		3		4 .
3.5.
								0		0
											.
								0		0
								0		0

3.6.

a)		6	14		36		;	B A - не определено.
a)	A B						;	B A - не определено.
			32		78
	15		32		78
	2		1						2			7	9
b)	2		1	;		B A				2	5
b)	A B			;		B A				2	5		11 .
		8
		8	9							2	10
										2	10		14
3.7.
											10		4	7

												6	14	4	.
												7	5	4
												7	5	4

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ 1 КУРС 2 СЕМЕСТР

#
16.04.20151.42 Mб32ИЗУЧЕНИЕ ИНОСТРАННОГО ЯЗЫКА (ФРАНЦУЗСКИЙ).pdf
#
16.04.2015403.05 Кб31ИЗУЧЕНИЕ ИНОСТРАННОГО ЯЗЫКА .pdf
#
16.04.2015366.64 Кб35ИЗУЧЕНИЕ НЕМЕЦКОГО ЯЗЫКА СТУДЕНТАМИ ЗАОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ.pdf
#
16.04.2015759.64 Кб49ИНФОРМАТИКА.pdf
#
16.04.2015378.2 Кб112КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО АНГЛИЙСКОМУ ЯЗЫКУ.pdf
#
16.04.2015706.43 Кб117ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.pdf
#
16.04.2015285 Кб119математика_задание_1 курс_Весна_2013.pdf
#
16.04.2015920.14 Кб157ОБЩАЯ И НЕОРГАНИЧЕСКАЯ ХИМИЯ.pdf
#
16.04.2015667.3 Кб110ПРАВОВЕДЕНИЕ.pdf
#
16.04.2015181.76 Кб264физвоспитание_ЗФО.doc