L08-SolidStatPhys [Режим совместимости]

09.12.2012

Лекция № 8 Физика твердого тела

Квантовые статистики и их применение

2Квантовая статистика. Функция распределения

•Квантовая статистика – раздел статистической

физики, в котором изучаются свойства систем, состоящих из огромного числа частиц, подчиняющихся законам квантовой механики

•С учетом трех пространственных координат x, y, z и

трех проекций импульса px, py, pz для системы из N

частиц число степеней свободы равно 6N. Это 6N-

мерное пространство называется фазовым

пространством

•Объем элементарной ячейки фазового пространства

(фазовый объем) можно записать как dqdp = dq1, dq2,…, dq3N, dp1, dp2, …, dp3N, , где q – совокупность координат всех частиц; р – совокупность проекций их импульсов. dqdp ≥ h3, где h - постоянная Планка

1

09.12.2012

3Квантовая статистика. Функция распределения

•Вероятность dW данного состояния системы можно

представить с помощью функции распределения f(q,p):

•Здесь dW представляет собой вероятность того, что

система находится в состоянии, в котором ее

координаты и импульсы заключены в интервале q, q + dq и p, p + dp

•Согласно формуле (8.1), функция распределения есть

плотность вероятности определенного состояния

системы, поэтому она должна быть нормирована на

единицу:

f q, p dqdp 1,

4Квантовая статистика. Функция распределения

•Зная функцию распределения f(q,p), можно опреде-

лить средние значения величин, характеризующих систему. Среднее значение любой функции

•Явное выражение функции распределения от энергии

в самом общем виде описывается каноническим

распределени-ем Гиббса.

•где А – постоянная, определяемая из условия

нормировки; n – совокупность всех квантовых чисел, характеризующих данное состояние

2

09.12.2012

5Понятие о квантовой статистике Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака

•Состояние системы невзаимодействующих частиц

задается с помощью, так называемых чисел

заполнения Ni – чисел, указывающих степень

заполнения квантового состояния частицами системы,

которое характеризуется данным набором i квантовых чисел

•Для систем частиц, образованных бозонами – частицами с нулевым или целым спином, числа

заполнения могут принимать любые целые значения:

0, 1, 2, … . Для систем частиц, образованных

фермионами – частицами с полуцелым спином, числа заполнения могут принимать лишь два значения:

0 – для свободных состояний и 1 – для занятых

6Понятие о квантовой статистике Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака

•Квантовая статистика позволяет подсчитать среднее

число частиц в данном квантовом состоянии, т.е. определить средние числа заполнения <Ni>

•Идеальный газ из бозонов – бозе газ – описывается

квантовой статистикой Бозе-Эйнштейна.

Распределение бозонов по энергиям вытекает из

распределения Гиббса, при условии, что число тождественных бозонов в данном квантовом состоянии

может быть любым

•Это распределение называется распределением Бозе-

Эйнштейна

3

09.12.2012

7Понятие о квантовой статистике Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака

•где <Ni> – среднее число бозонов в квантовом

состоянии с энергией Ei; k – постоянная Больцмана;

Т – термодинамическая температура; μ – химический

потенциал.

•Химический потенциал определяет изменение внутренней энергии системы при добавлении к ней

одной частицы при условии, что все остальные

величины, от которых зависит внутренняя энергия

(энтропия, объем), фиксированы

•Идеальный газ из фермионов – ферми-газ –

описывается квантовой статистикой Ферми – Дирака.

8Понятие о квантовой статистике Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака

•Распределение фермионов по энергиям имеет вид

•где <Ni> – среднее число фермионов в квантовом состоянии с энергией Ei; μ – химический потенциал.

Это распределение называется распределением

Ферми – Дирака

(8.4) и Ферми – Дирака (8.5) переходят в классическое

распределение Максвелла – Больцмана:

4

09.12.2012

9Понятие о квантовой статистике Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака

•Система частиц называется вырожденной, если ее

свойства существенным образом отличаются от

свойств систем, подчиняющихся классической статистике

•Температурой вырождения Т0 называется

температура, ниже которой отчетливо проявляются

квантовые свойства идеального газа, обусловленные тождественностью частиц

10Вырожденный электронный газ в металлах

•Электроны проводимости в металле можно рассмат-

ривать как идеальный газ, подчиняющийся распреде-

лению Ферми-Дирака см. (8.5). Если μ0 – химический потенциал электронного газа при Т = 0 К, то. согласно

(8.5), среднее число <N(Е)> электронов в квантовом

состоянии с энергией Е равно:

•для фермионов <N(Е)> = f(E), где f(E) – функция

распределения электронов по состояниям

•Из (8.8) следует, что при Т =0 К функция распределе-

ния <N(Е)> = 1, если Е < μ0, и <N(Е)> = 0, если Е > μ0.

5

09.12.2012

11Вырожденный электронный газ в металлах

•μ0 есть максимальная

кинетическая энергия,

которую могут иметь

электроны проводимости в металле при 0 К. Эта

максимальная кинетичес-

кая энергия называется

энергией Ферми и

обозначается EF (EF = μ0)

12Вырожденный электронный газ в металлах

•Наивысший энергетический уровень, занятый электро-

нами, называется уровнем Ферми.

•Уровню Ферми соответствует энергия Ферми EF, которую имеют электроны на этом уровне.

•Работу выхода электрона из металла нужно

отсчитывать не от дна "потенциальной ямы", как это

делалось в классической теории, а от уровня Ферми.

•При (E – EF) >> kT, т.е. при больших значениях

энергии, единицей в знаменателе (8.9) можно пренебречь и тогда распределение Ферми–Дирака

переходит в распределение Максвелла–Больцмана

•когда (E – EF) << kT, к электронам применима квантовая статистика

6

09.12.2012

13Выводы квантовой теории электропроводности металлов

•Квантовая теория электропроводности металлов – это теория электропроводности,

основывающаяся на квантовой механике и квантовой

статистике Ферми–Дирака, – пересмотрела вопрос

об электропроводности металлов, рассмотренный в классической физике

•Расчет электропроводности металлов, выполненный

на основе этой теории, приводит к выражению для

удельной электрической проводимости металла

14Выводы квантовой теории электропроводности металлов

•Здесь n – концентрация электронов проводимости в

металле; <lF> – средняя длина свободного пробега электрона, имеющего энергию Ферми; <uF> – средняя скорость теплового движения такого электрона

•Квантовая теория электропроводности металлов, в

частности, объясняет зависимость удельной

проводимости от температуры: γ ~ 1/T (классическая

теория дает, что γ ~ 1/T1/2)

•Согласно классической теории, <u> ~ T1/2, поэтому

она не смогла объяснить истинную зависимость γ от

температуры

•В квантовой теории средняя скорость теплового движения <uF> от температуры практически не зависит

7

09.12.2012

15Выводы квантовой теории электропроводности металлов

•Однако с повышением температуры рассеяние

электронов на тепловых колебаниях решетки (на

фононах) возрастает, что соответствует уменьшению средней длины свободного пробега электронов.

•В области комнатных температур <lF> ~ T–1, поэтому,

учитывая независимость <u> от температуры,

получим, что сопротивление металлов (R ~ 1/γ) в соответствии с данными опытов растет

пропорционально Т.

•Таким образом, квантовая теория электропроводности

металлов устранила эту трудность классической теории.

16Понятие о зонной теории твердого тела

•Пока атомы изолированы, т.е. находятся друг от друга на макроскопических расстояниях, они имеют совпадающие схемы энергетических уровней (рис. 316).

8

09.12.2012

17Понятие о зонной теории твердого тела

•Таким образом, в твердых телах внутренние электроны

ведут себя так же, как в изолированных атомах, валентные же электроны "коллективизированы" – т.е.

принадлежат всему твердому телу

•То что внешние электроны могут переходить от атома к

атому приводит к тому, что среднее время жизни τ

валентного электрона в данном атоме уменьшается и составляет примерно 10–15 с, тогда как для

изолированного атома оно примерно 10–8 с.

Естественная ширина энергетического уровня ∆E ~ h/τ.

Следовательно, если для изолированного атома ∆E

составляет примерно 10–7 эВ, то в кристаллах

∆E » 1 – 10 эВ, т.е. уровни валентных электронов

расширяются.

18Понятие о зонной теории твердого тела

•Энергия внешних электронов может принимать значения в пределах заштрихованных на рис. 316 областей, называемых разрешенными энергетическими зонами. Расстояние между соседними энергетическими уровнями в зоне

составляет приблизительно 10–22 эВ. Так как оно столь ничтожно, то зоны можно считать практически

непрерывными.

•Разрешенные энергетические зоны разделены зонами

запрещенных значений энергии, называемых

запрещенными энергетическими зонами. В них электроны находиться не могут

9

09.12.2012

19Металлы, диэлектрики и полупроводники по зонной теории

•В общем случае можно говорить о валентной зоне,

которая полностью заполнена электронами и

образована из энергетических уровней внутренних

электронов свободных атомов, и о зоне проводимости

(свободной зоне), которая либо частично заполнена

электронами, либо свободна и образована из энергетических уровней внешних "коллективизирован-

ных" электронов изолированных атомов.

•В зависимости от степени заполнения зон электронами

и ширины запрещенной зоны возможны четыре

случая, изображенные на рис. 317.

20Металлы, диэлектрики и полупроводники по зонной теории

•(а) В данном случае электрон, получив сколь угодно

малую энергетическую "добавку" (например, за счет теплового движения, (kT » 10–4 эВ, при Т 1К), сможет перейти на более высокий уровень (∆E » 10–22 эВ) той же зоны, т.е. стать свободным и участвовать в

проводимости

10