4.5 Метод итераций
Для
приближенного решения уравнения методом
итераций необходимо исходное уравнение
привести к виду
.
Начальное
приближение
находится как
.
Корнем
исходного уравнения является предел
последовательности
,
где
………………
Теорема о сходимости метода итераций:
Если
непрерывна на отрезке [a,b]
и отображает его в себя, то процесс
итерации сходится, если на отрезке [a,b]
выполняется условии сходимости:
При этом сходимость не зависит от начального приближения.
Правило
остановки счета при использовании
метода итераций: |
,
где
.
5 Решение задачи Коши
Задача Коши- задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным условиям.
Методы решения задачи Коши подразделяются на:
Приближенно аналитические
Решение дифференциального уравнения ищется в виде аналогичного выражения (формулы), при этом на определенном этапе решения задача упрощается.
К данным методам относятся: метод малого параметра, метод степенных рядов, метод последовательного дифференцирования и метод последовательного приближения.
Графические
Ищется график неизвестной функции, являющейся решением, а после для него находится аналогичное выражение.
К данным методам относят метод изоклин.
Численные
В данном случае решение ищется в виде таблицы значений функции. К этим методам относится метод Эйлера.
5.1 Метод Эйлера
Данный метод основан на геометрическом смысле первой производной.
Пусть
дано уравнение
и
начальные условия
.
Отрезок [a,b] графика неизвестной функции делится на n одинаковых частей, где n - длина шага интегрирования. На каждом шаге отрезок неизвестной функции заменяется отрезком касательной. Приближенное значение находится как ордината точки пересечения касательной с прямой, параллельной Oy.
В общем виде формула выглядит следующим образом:
За оценку погрешности вычислений с шагом h/2 принимают величину
5.2 Метод Рунге-Кутта
Классический метод Рунге-Кутта 4-го порядка описывается следующей системой пяти равенств:
где
Строго
говоря, существует не один, а группа
методов Рунге-Кутта, отличающихся друг
от друга порядком, т.е. количеством
параметров
.
В данном случае мы имеем метод 4-го
порядка, который является одним из
наиболее применяемых на практике, так
как обеспечивает высокую точность и в
то же время отличается сравнительной
простотой. Поэтому в большинстве случаев
он упоминается в литературе просто как
«метод Рунге-Кутта» без указания его
порядка.
Данный метод является более точным, чем метод Эйлера из-за дополнительного разбиения внутри каждого шага.
Формула
оценки погрешности в данном случае
имеет вид:
5.3 Метод степенных рядов
Пусть дано исходное уравнение вида
В
данном случае коэффициенты
можно
представить в виде степенных рядов:
При
использовании данного метода неизвестная
функция ищется в виде степенного ряда
где
– неизвестные коэффициенты . Таким
образом решение данной задачи сводится
к нахождению
Остальные коэфиценты на
5.4 метод последовательного дифференцирования
5.5 Метод малого параметра
5.6 Метод последовательного приближения Пикара
6 Решение краевых задач
6.1 Метод Галеркина
6.2 Метод сетов
Вычислить, используя методы парабол и трапеций с точностью ε=0,001
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.