4 Приближенное вычисление линейных уравнений

Уравнением называется равенство двух функций f(x)=g(x).

Корнем уравнения называется значение независимой переменной, которое при подставлении его в исходное уравнение дает верное равенство.

Линейным является уравнение вида: .

Приближенное решение линейных уравнений включает в себя следующие этапы:

1. Отделение корня

Отделение корня заключается в нахождении отрезка изоляции- отрезка, на оси OX, содержащего единственный корень данного уравнения.

Удобнее всего данное действие выполнять графически:

Строятся графики функций , затем находится абсцисса точки пересечения, гдеотрезок изоляции.

Или же почленно перенести обе функции в одну часть , и найти точку пересеченияF(x) с осью OX, т.е. точку , гдеотрезок изоляции.

2. Проверка существования и единственности корня на отрезке изоляции

Если F(x) непрерывна на , то проверяются следующие условия:

• Условие существования корня: ;

• Условие единственности корня: не меняет своего знака на.

3. Уточнение корня

Уточнением корня называется вычисление значения корня с заданной точностью.

Существует несколько методов уточнения корня:

1. Метод половинного деления

2. Метод касательных (метод Ньютона)

3. Метод хорд

4. Комбинированный

5. Метод итераций

4.1 Метод половинного деления

Данный метод включает в себя следующие этапы:

1. Нахождение начального приближения:

Находим точку с, такую что , где a и b - крайние точки отрезка изоляции.

2. Проверяем существование корня на отрезках :

• Если и, то получаем новый отрезок изоляции.

• Если и, то получаем новый отрезок изоляции

3. Допустим, мы получили отрезок изоляции , тогда проверяем условие

, где ε – допустимая погрешность. Если данное условие выполняется, следовательно . В этом случае вычисления прекращаются.

Если условие не выполняется, то вычисления продолжаются, пока данное условие не будет выполнено.

Достоинство данного метода заключается в простоте и в том, что он не требует дополнительных ограничений. Однако медленная сходимость данного метода является существенным недостатком.

4.2 Метод касательных (метод Ньютона)

Метод касательных заключается в том, что к графику функции F(x) в точке F(b) про водится касательная, при этом точка пересечения касательной с осью OX обозначается b₁. Если условие проверки не выполняется, то проводится вторая касательная к графику в точке F(b₁). Вычисления продолжаются пока не будет выполнено условие остановки счета:

, где

Достоинство этого метода заключаются в быстрой сходимости. Недостатками являются громоздкость вычислений и требование к отсутствию точек перегиба на отрезке изоляции.

Замечание: Касательная строится с того конца, где совпадают знаки второй производной и самой функции.

4.3 Метод хорд

Начальное приближение находится путем проведения хорды к графику функции F(x) от точки F(a) к точке F(b). При этом точка пересечения хорды с осью ОХ обозначается a₁ и следующим приближением будет точка a₂ -- точка пересечения оси ОХ хордой, проведенной из точки F(a₁) к точке F(b).

Если приближение слева:

;

Вычисления прекращаются при выполнении следующего условия:

Если приближение справа:

;

Вычисления прекращаются при выполнении следующего условия:

.

Достоинства и недостатки этого метода аналогичны достоинствам и недостаткам метода касательных.

Так же часто применяют комбинированный метод, где осуществляют приближение поочередно методами касательных и хорд – то есть приближение происходит с двух сторон от искомой точки.