2.2 Сплайн-интерполяция
На больших отрезках использование интерполяционного многочлена затруднительно, так как при малых степенях многочлена велико расстояние между узлами, а при больших степенях резко возрастает погрешность округления.
В этом случае используют сплайн-интерполяцию – кусочную интерполяцию многочленами низких степеней.
Отрезок
[a,b]
разделяют на n
частей :
.
И
на каждой части строится многочлен
При этом построенная функция должна
быть непрерывна и непрерывна дифференцируема
в точках
.
Функцию
называют кубическим сплайном - то есть
для приближения в данном случае используют
интерполяционный многочлен третьей
степени.
3 Приближенное вычисление определенных интегралов
Путь требуется вычислить определенный интеграл,
где f(x) – заданная функция, определенная на отрезке [a,b].
Если известна функция F(x), называемая первообразной, такая что
F’(x) = f(x) на [a,b], то для решения поставленной задачи естественно восползоваться формулой Ньютона-Лейбница:
Если f(x) не имеет элементарной первообразной, определенный интеграл можно вычислить приближенными методами, в частности: методами прямоугольников, трапеций и парабол.
3.1 Метод прямоугольников
Пусть требуется вычислить определенный интеграл
.
Разобьем
отрезок интегрирования [a,b]
на некоторое число отрезков n
одинаковой
длины
.
Получим точкиxk=a+kh
(k=0,1,…n;
x0=a;
xn=n).
При этом на каждом отрезке подынтегральная функция заменяется отрезком прямой, параллельным оси ОХ. И таким образом задача нахождения площади интеграла сводится к нахождению суммы площадей полученных прямоугольников.
Пусть
серединаi-го
отрезка, т.е.
Тогда
Погрешности
3.2 Метод трапеций
Пусть требуется вычислить определенный интеграл
.
Разобьем
отрезок интегрирования [a,b]
на некоторое число отрезков n
одинаковой
длины
.
Получим точкиxk=a+kh
(k=0,1,…n;
x0=a;
xn=n).
При
этом количество отрезков n
определяется заданной погрешностью:
n=n(ε).
На каждом отрезке подынтегральная функция заменяется интерполяционным членом первой степени (отрезком прямой). В итоге строится n различных трапеций.
Таким образом значение интеграла определяется как сумма площадей трапеций.
Площадь трапеций находим, применяя к каждому отрезку формулу Ньютона-Котеса первого порядка, получим:
Складывая почленно эти равенства, придем к так называемой формуле трапеций:
… … …
Оценка
погрешности:
Погрешность данных методов возникает из-за погрешности, с которой интерполяционный многочлен приближает f(x).
В данном случае оценка погрешности сводится к следующему:
.
3.3 Метод парабол (метод Симпсона)
Пусть требуется вычислить определенный интеграл
.
Разобьем
отрезок интегрирования [a,b]
на четное число отрезков n
одинаковой
длины
.
Получим точкиxk=a+kh
(k=0,1,…n;
x0=a;
xn=n).
При
этом количество отрезков n
определяется заданной погрешностью:
n=n(ε).
На каждом из «сдвоенных отрезков» подынтегральная функция заменяется отрезком квадратичной функции (параболы).
Рассматривая теперь «сдвоенные отрезки» [x2j-2 , x2j] (при j=1,2,…,n/2) и применяя на каждом из них формулу Ньютона-Котеса второго порядка, получим:
Складывая почленно эти равенства придем к так называемой формуле парабол (формуле Симпсона):
Количество отрезков n в данном методе определяется по формуле:
Важно! Количество отрезков в данном методе должно быть четным!
Оценка погрешности метода парабол производится по формуле:
