Непрерывность функций нескольких переменных

Для функций нескольких переменных могут быть введены понятия предела и непрерывности. Введенные ранее понятия предела и непрерывности для функции одной переменной представляют собой частный случай этих понятий для функций нескольких перменных.

Число А называется пределом функции y = f(X)=f(х₁, х₂, …х_n)при Х, стремящемся к Х⁽⁰⁾ = (х₁⁽⁰⁾, х₂⁽⁰⁾, …х_n⁽⁰⁾) (или в точке Х⁽⁰⁾), если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа, найдется такое положительное число(зависящее от, т.е.=()), что для всех точек Х, отстоящих от Х⁽⁰⁾ на расстояние, меньшее, (кроме, разве что, самой точки Х⁽⁰⁾, т.е. при) верно неравенство: |f(Х) - А| <.

Предел функции в точке Х⁽⁰⁾ обозначаетсяили f(X)А приXХ⁽⁰⁾ или .

Итак, число А есть предел функции у = f(X) при XХ⁽⁰⁾, если для любого> 0 найдется такая-окрестность точки Х⁽⁰⁾, что для всех точек из этой окрестности значения функции f(Х) будут заключены в-окрестности точки А на числовой оси значений функции.

Вычисление пределов функций многих переменных значительно сложнее, чем в случае функций одной переменной. Если на прямой существуют всего два направления, по которым аргумент может стремиться к предельной точке (справа и слева), то в простанствах большей размерности (даже в двумерном пространстве - на плоскости) таких направлений бесконечное много, и пределы функции по разным направлениям могут не совпадать. Однако, в некоторых случаях такие пределы вычисляются достаточно легко (пример - см. учебник Кремера стр. 407).

Функция многих переменных называется непрерывнойв точке, если она определена в этой точке, имеет в ней конечный предел, и этот предел равен значению функции в этой точке, т.е..

Геометрический смысл непрерывности функции двух переменных заключается в том, что график этой функции представляет собой сплошную поверхность.

Частные производные функции многих переменных

Возьмем точку X = (х₁, х₂, …х_n). Дадим аргументу х₁приращениех₁, аргументу х₂приращениех₂и т.д., аргументу х_nприращениех_n; тогда функцияz=f(x) получит приращениеz=f(х₁+х₁, х₂+х₂, …х_n+х_n) -f(X). Эту величину называютсяполным приращениемфункции в точке X. Если задать приращение только одного из аргументов, то полученные приращения функции называючастными. Например,,,- частные приращения.

В общем случае полное приращение функции, не равно сумме частных, хотя иногда такая ситуация может иметь место.

Например, найдем частные и полное приращение функции z= 1/(х₁х₂).

Частное приращение по аргументу х₁примет вид:

Частное приращение по аргументу х₂примет вид:

Полное приращение примет вид:

Можно показать, что в этом примере сумма частных приращений не равна полному приращению функции z:

Частной производнойфункции нескольких переменныхz=f(X) называют предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемого аргумента при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):.

Частную производную обозначают илиz/x_j.

Из определения частных производных следует, что для нахождения производной z/x_jнадо считать постоянными все переменные аргументы, кроме одного -x_j.

В частности, если zпредставляет собой функцию двух переменныхxиy(z=f(x,y)), то ее частная производная по х равна, и для ее нахождения надо считать постоянным аргументy. Частная производнаяzпоyравна, и для ее нахождения надо считать постоянным аргумент х.

Например, найдем частные производные следующих функций:

Пример 1.z=xlny+y/x

Чтобы найти частную производную по х, считаем у постоянной величиной. Тогда , z_x' =lny* (x)' +y*(1/x)' =lny+y*(-1)*x^-2=lny–y/(x²).

Аналогично продифференцируем эту функцию по у, считаея х постоянной: z_y' =x(lny)' + (1/x)*(y)' =x/y+ 1/x

Пример 2.z=x^y

Частная производная по х представляет собой производную степенной функции, т.е. z_x' =yx^y-1.

Частная производная по yпредставляет собой производную показательной функции, т.е.z_y' =x^ylnx.

Понятие частной производной имеет вполне четкий экономический смысл. Поскольку функции нескольких переменных в экономике выражают зависимость некоторой величины от нескольких других факторов (иногда включая время), частная производная выступает как скорость изменения этой величины во времени или относительного другого исследуемого фактора при условии, что остальные факторы не меняются.

Например, пусть магазин продает мороженое – сливочное по 25 руб. за штуку, шоколадное по 30 руб. за штуку и фисташковое по 32 руб. за штуку. Обозначим х₁– объем продаж сливочного мороженого (шт.), х₂– объем продаж шоколадного мороженого (шт.), х₃– объем продаж фисташкового мороженого (шт.). Тогда выручкуz(руб.) магазина от продажи этих сортов мороженого можно рассчитать с помощью функции трех переменныхz= 25х₁+ 30х₂+ 32х₃. Найдем частную производную этой функции по х₁:= 25. Каков экономический смысл этой величины? Она показывает, на сколько возрастет выручка при единичном изменении продаж сливочного мороженого, при условии, что продажи остальных видов мороженого останутся на прежнем уровне. Иными словами, это скорость изменения общей выручки относительно изменения продаж сливочного мороженого. Аналогичные рассуждения можно провести для обеих других переменных.

Рассмотренное выше понятие частной производной относится к частной производной первого порядка. Введем понятия частных производных более высоких порядков.

Если частные производные первого порядка являются дифференцируемыми функциями, то можно найти и их частные производные, которые называются частными производными второго порядка:. На основании частных производных второго порядка можно вычислить частные производные третьего порядка и т.д.

Можно доказать, что если частные производные второго порядка функции z = f(x, у) непрерывны в некоторой точке, то в этой точке.