Понятие окрестности точки

Абсолютная величина (или модуль) действительного числа х - это само число х, если х неотрицательно, и противоположное число -х, если х отрицательно:

Некоторые свойства абсолютных величин:

1. |х| ≥ 0 (по определению);

2. |х + y|  |х| + |y|;

3. |х - y| ≥ |х| - |y|;

4. |хy| = |х||y|;

5. |х/y| = |х|/|y|.

Абсолютная величина разности двух чисел |х - а| означает расстояние между точками х и а числовой прямой как для случая х < а, так и для х > а (см. рис. 1.2). Поэтому, например, решениями неравенства |х - а| <  (где  > 0) будут точки х интервала ]а - , а + [.

Окрестность точки. Всякий интервал, содержащий точку а, называется окрестностью точки а.

Интервал ]а -, а + [, т.е. множество точек х таких, что |х - а| <  (где  > 0) называется -окрестностью точки а (см. рис. 1.3).

Функциональная зависимость

Постоянной величиной (константой) называется величина, сохраняющая одно и то же значение.

Переменной называется величина, которая может принимать различные числовые значения.

Функция – это соответствие (закон), согласно которому каждому элементу х множества X (х  X) ставится в соответствие вполне определенный элемент у множества Y (у  Y) (этот элемент y обязательно должен быть только один для любого х)..

При этом говорят, что на множестве X задана функция y = f(x).

Переменная х называется независимой переменной (или аргументом), у - зависимой переменной, а буква f обозначает закон соответствия.

Множество X называется областью определения (или существования) функции, а множество Y - областью значений функции.

Если множество X специально не оговорено, то под областью определения функции подразумевается область допустимых значений независимой переменной х, т.е. множество таких значений х, при которых функция у = f(х) вообще имеет смысл.

Например, область определения функции есть промежуток [5; +[, так как под знаком корня должно стоять неотрицательное выражение (х – 5 ≥ 0).

Способы задания функций. Существует несколько способов задания функций:

а) Аналитический способ, если функция задана формулой вида y = f(x). Этот способ наиболее часто встречается на практике. Например, функция задана аналитически.

С помощью формулы функция может быть задана явно или неявно. Задание будет явным, если правая часть формулы не содержит зависимую переменную. Например, в формуле правая часть не содержит y, поэтому функция задана явно. Пример неявного задания функции – выражение x³ + y² = 2. С помощью этого выражения неявно заданы две функции – для y > 0 и для y < 0.

б) Табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения аргумента х и соответствующие значения функции f(x). Например, прайс-лист, в котором каждому номеру товара соответствует его цена.

в) Графический способ состоит в изображении графика функции - множества точек (х, y), абсциссы которых есть значения аргумента х, а ординаты - соответствующие им значения y (см. рисунок 1.3).

Основные свойства функций

1. Четность и нечетность. Функция y = f(x) называется четной для любых значений х из области определения, если f(-x) = f(x), и нечетной, если f(-x) = -f(x). В противном случае функция называется функцией общего вида.

Например, функция у = х² является четной, так как (-х)² = х²; а функция у = х³ – нечетной, так как (-х)³ = -х³. Функция у = f(x) = х² +х³ является функцией общего вида, так как f(-x) = (-х)² +(-х)³ = х² - х³. При этом f(-x)  f(x) и f(-x)  - f(x).

График четной функции симметричен относительно оси ординат (например, функции у = х²), а график нечетной функции симметричен относительно начала координат (например, график функции у = х³).

2. Монотонность. Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке, еcли большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.

Пусть х₁, х₂  X и х₂ > х₁. Тогда функция возрастает на промежутке X, если f(x₂) > f (х₁) и убывает, если f(x₂) < f (х₁).

В обоих случаях функции называются строго монотонными. Если два последних неравенства – нестрогие (т.е. f(x₂) ≥ f (х₁) и f(x₂)  f (х₁)), то функции называют соответственно неубывающими и невозрастающими.

Например, функция у = х² убывает для неположительных значений аргумента (т.е. на промежутке ]-; 0]) и возрастает для неотрицательных.

3. Ограниченность. Функцияy= f(x) называетсяограниченнойна некотором промежуткеX, если существует такое положительное число М, что модуль значения функции не превышает этого числа для любого аргумента из этого промежутка. (М > 0: |f(x)|Mдля любого хX)

В противном случае функция называется неограниченной.

Например, функция у = cosх ограничена на всей числовой оси, так как |cosх|1. Функция у = х не ограничена на ]-; +[.

Если в определении рассматривать не модуль значения функции, а само значение, которое должно быть не меньше или не больше числа М, то можно говорить об ограниченности снизу или сверху.

4. Периодичность. Функция y = f(x) называется периодической с периодом Т  0, если для любых х из области определения f(х + Т) = f(x).

Например³, функция у = sin х имеет период Т = 2, так как sin (х +2) = sin х.

Обратная функция. Если для функции y = f(x) различным аргументам х₁  х₂ соответствуют различные значения функции y₁  y₂, то можно определить функцию x = (y), которая каждому число y = f(x) ставит в соответствие число х. Такую функцию называют обратной для f и обозначают f^-1.(не следует путать это обозначение с возведением в степень (-1)).

Из этого определения следует, что для любой строго монотонной функции существует обратная функция.

Например, для функции у=а^х обратной будет функция x=lоg_aу (или в обычных обозначениях зависимой и независимой переменных у= lоg_ах).

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (относительно прямой y = x) (см. рис. 1.3).

Сложная функция. Пусть функция y = f (u) есть функция от переменной u, определенной на множестве U c областью значений Y, а переменная u, в свою очередь, является функцией u =  (х) от переменной х, определенной на множестве X с областью значений U. Тогда заданная на множестве X функция y = f [ (х)] называется сложной функцией (или композицией функций, суперпозицией функций, функцией от функции).

Например, у = lg sin х — сложная функция, так как ее можно представить в виде у= lg u, где u = sin х.