Стат_Лекция 07

Лекция 7. Показатели и анализ вариации

Средняя обобщающая характеристика не отражает вариации признака внутри совокупности в целом или отдельных ее частей. Поэтому средняя дополняется показателями вариации, которые характеризуют колеблемость признака в вариационном ряду.

Вариация признака изучается при помощи следующих показателей: размах вариации, среднее линейное отклонение, средний квадрат отклонений (дисперсия), среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации. Размах вариации показывает, в каких пределах колеблется размер признака, образующего ряд распределения.

1. Размах вариации (R) – это разность между наибольшим X_max и наименьшим X_min значениями признака:

R = Хmax – Хmin.

(25)

2. Среднелинейное отклонение– среднеарифметическая из абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней. Оно может быть простым и взвешенным и определяться по формулам:

простая =, взвешенная =

(26) (26а)

Пример исчисления среднелинейного отклонения приведен в таблице 22:

Таблица 22. Пример исчисления среднелинейного отклонения

Выработка, тыс.руб. (xi)	Число рабочих, чел., (fi)			fi		2	2f
10	10	100	4	40	-4	16	160
12	30	360	2	24	-2	4	120
15	40	600	1	15	1	1	40
16	15	240	2	32	2	4	60
20	5	100	6	30	6	36	180
Итого	100	1460		141	-	-	560

Предварительно находим среднеарифметическую:

= 1400/100 = 14,0 тыс. руб.

Затем определяем размах вариации R = 20 – 10 = 10 руб. и среднелинейное отклонение:

= 141/100 = 1,41 тыс.руб.

Следоваельно, колеблемость ряда составит: +- = 14,0 +- 1.41 тыс. руб.

3. Дисперсия – средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины. Дисперсия может быть простой и взвешенной. Для дисперсии применяются формулы:

простая = взвешенная =

(27) (27а)

Затем определяем дисперсию = 560/100 = 5,60 руб. и среднеквадратическое отклонение как корень квадратный из дисперсии. Следовательно 2,37 тыс. руб.

Отсюда, колеблемость ряда составит: +- = 14,0 +- 2.37 тыс. руб.

Размах вариации, среднелинейное отклонение, дисперсия и среднеквадратическое отклонение являются абсолютной мерой колеблемости признака. Они не позволяют сравнивать колеблемость нескольких признаков. Для такого сравнения применяются коэффициент осцилляции V_R, линейный коэффициент вариации и коэффициент вариации , которые соответственно исчисляются по формулам:

(28а) (28б) (28в)

Для примера:

= 2,37/14 = 0,169 = 1,41/14 = 0,101 = 10/14 = 0,714

Способы отсчета от нуля и моментов являются упрощенными способами исчисления дисперсии. Суть способа «от нуля» в том, что дисперсия исчисляется не от средней арифметической, а от одного из значений признака, принятого за «0», как правило, расположенного в середине вариационного ряда. Затем находится ошибка, на величину которой найденная дисперсия отличается от дисперсии, исчисленной от среднеарифметической. Ошибка определяется как квадрат разности между среднеарифметической и тем значением признака, от которого исчисляется дисперсия – х_о.

Дисперсия по способу «от нуля» определяется по формулам:

Простая Взвешенная

(29) (29а)

Пример исчисления дисперсии по способу «от нуля» приведён в таблице 23.

Таблица 23. Пример исчисления дисперсии по способу «от нуля»

Группа рабочих по выработке в смену, руб.	Число рабочих, f	Середина интервалов, Х, тыс. руб.		()2	()2f	xf
До 1200 1200-1500 1500-1800 1800-2100 Свыше 2100	19 35 25 15 6	1050 1350 1650 1950 2250	-600 -300 0 +300 +600	360000 90000 0 90000 360000	6840000 3150000 0 350000 2160000	10050 47250 41250 29250 13500
Итого	100	-	-	-	13550000	151200

Дисперсию исчисляем от значения признака, расположенного в середине ряда, следовательнох_о = 1650 руб.

=13550000/100=135500 руб.; =151200/100=1512 руб.

()²=(1512-1650)²=138²=19044 руб.

=135500-19044=116456 руб., а = = 341,2 руб.

Сущность расчета дисперсии по способу моментов заключается в том, что дисперсия исчисляется без расчёта среднеарифметической, по формулам:

– простая, (30)

взвешенная

(30а)

Пример расчета дисперсии способом моментов приведен в таблице24:

Таблица 24. Пример расчета дисперсии способом моментов

Х	f	X2	X2f	xf
0,25 0,50 0,75 1,0	10 15 20 5	0,0625 0,25 0,5625 1,0000	0,625 3,75 11,25 5,0	2,5 7,5 15,0 5,0
Итого	50	-	20,625	30,0

= 20,625/50 – (30,0/50)² = 0,4125 – 0,36 = 0,0525.

Вариация сгруппированных статистических данных обусловлена систематическими и случайными факторами.

Систематические факторы обуславливают постоянную вариацию, а случайные факторы – случайную вариацию.

Постоянная вариация характеризуется межгрупповой дисперсией , которая исчисляется по формуле:

,

(31)

где – внутригрупповые средние.

Случайная вариация характеризуется средней из внутригрупповых дисперсий и исчисляется по формуле:

, простая,

(32)

где – внутригрупповые дисперсии, которые исчисляются согласно формуле:

, простые,

(33)

Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов. Она определяется по рассмотренным выше трём способам.

Общая дисперсия равна сумме двух предыдущих, т.е.:

(34)

Это и есть правило сложения дисперсий. С помощью правила сложения дисперсий возможно оценить удельное значение фактора, лежащего в основе группировки, во всей совокупности факторов, действующих на результативный признак.

Дисперсионный анализ используется для определения степени тесноты связи при помощи исчисления корреляционного отношения (ή) –отношения, которое характеризует влияние признака, положенного в основу группировки, на конечный результат:

,

(35)

где - межгрупповая дисперсия.

Закон вариации индивидуальных значений признака называется «правилом трех сигм», по которому вариация значений признака при нормальном распределении находится в пределах X (табл. 25)

Таблица 25. Правило трех сигм

Величина размаха вариации	Вероятность достоверности результата
х 	0,683
х  2	0,954
х  3	0,997

Дисперсия альтернативного признака равна произведению вероятностей наличия признака и его отсутствия, т.е. = p(1-p), где p – вероятность возникновения альтернативного признака.

ВОПРОСЫ ПО ЛЕКЦИИ 7.

7. Что характеризует «размах вариации»

а) это разность между максимальным и минимальным значениями признака

б) среднелинейное отклонение

в) дисперсия

г) среднеквадратическое отклонение

д) коэффициенты вариации ряда

8. Как определяется «среднелинейное отклонение»

а) как разность между максимальным и минимальным значениями признака

б) как средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины

в) как корень квадратный из среднего квадрата отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины

г) как средний коэффициент вариации ряда

д) как среднеарифметическая из абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней-

9. Как определяется «дисперсия»

а) как разность между максимальным и минимальным значениями признака

б) как средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины

в) как корень квадратный из среднего квадрата отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины

г) как средний коэффициент вариации ряда

д) как среднеарифметическая из абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней

10. Как определяется «среднеквадратическое отклонение»

а) как разность между максимальным и минимальным значениями признака

б) как средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины

в) как корень квадратный из среднего квадрата отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины

г) как средний коэффициент вариации ряда

д) как среднеарифметическая из абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней

11. Как определяются коэффициенты вариации ряда

а) как отношение показателя вариации к средней ряда

б) как отношение любого показателя вариации к любой средней ряда

в) как отношение средней к показателю вариации ряда

г) как разность между любым значением ряда и средней ряда

д) как разность между максимальным значением ряда и средней ряда

12. Какими способами возможно определить среднюю арифметическую взвешенную

а) прямым методом: как отношение суммы произведений значений признаков на их частоты к сумме частот

б) методом моментов-

в) методом наименьших квадратов

г) методом сумм

д) методом «от нуля»

13. Каким способом возможно определить дисперсию

а) прямым методом: как средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины

б) методом моментов-

в) методом средних значений

г) методом первоначальных сумм

д) методом «от нуля»

14. С какой целью рассчитывается «корреляционное отношение»

а) для выявления влияния признака, положенного в основу группировки на конечный результат

б) для выявления влияния группировки на исходный результат

в) для выявления влияния группировки на показатели вариации

г) для обоснования необходимости представленной группировки

д) для расчета дисперсии

15. Что означает «правило 3-сигм»

а) что вариация значений признака при нормальном распределении находится в пределах трех среднеквадратических отклонений

б) что при нормальном распределении значение признака не входит в зону 3-сигм

в) что при биномиальном распределении значения признака включается в зону 3-сигм

г) что при гипергеометрическом распределении значения признака включается в зону 3-сигм

д) что при распределении Пуассона распределении значения признака не включается в зону 3-сигм

16. Что характеризует межгрупповая дисперсия

а) постоянную вариацию, полученную в результате действия систематических факторов

б) случайную вариацию, полученную в результате действия случайных факторов-

в) вариацию, полученную в результате действия систематических и случайных факторов

г) вариацию, полученную в результате действия внешних факторов

д) вариацию, полученную в результате действия внутренних факторов

17. Общая дисперсия, это …

а) сумма межгрупповой и средней из внутригрупповых дисперсий

б) разность межгрупповой и средней из внутригрупповых дисперсий

в) произведение межгрупповой и средней из внутригрупповых дисперсий

г) отношение межгрупповой дисперсии к средней из внутригрупповых дисперсий

д) корень квадратный из произведения межгрупповой и средней из внутригрупповых дисперсий

18.Как определяется дисперсия альтернативного признака

а) как произведение межгрупповой и средней из внутригрупповых дисперсий

б) как произведение вероятностей наличия признака и его отсутствия

в) как отношение межгрупповой дисперсии к средней из внутригрупповых дисперсий

г) как произведение вероятностей признака, положенного в основу группировки на вероятность внешнего признака

д) как корень квадратный из произведения вероятностей признака, положенного в основу группировки на вероятность внешнего признака