3. Свойства булевых функций

Ниже приводятся несколько полезных свойств булевых функций, которые можно легко проверить с помощью таблиц. Две функции Ф и F равны (или эквивалентны), если их значения совпадают на всех наборах их аргументов (обозначать это будем Ф=F).Очевидно, что если Ф и F равны, то ФF принимает единичные значения на всех наборах аргументов.

Таблица 1.7

pq = qp	pq = qp	коммутативность
(pq)r = p(qr)	(pq)r = p(qr)	ассоциативность
(pq)r = prqr	(pq) r = (pr)(qr)	дистрибутивность
(pq) = pq	(pq) = pq	законы де Моргана
рp=0	рp=1	законы исключенного третьего
(pq)p=p	(pq)p=p	законы поглощения
p0=0	p0=p	свойства нуля
p1=p	p1=1	свойства единицы
p = p	1=0; 0=1	свойства отрицания
pq=(pq) (qp)	pq=pq	свойства импликации
pq=pq  pq	1p=p	свойства сложения по модулю два

Доказательство теоремы 1.1 основано на следующей Лемме:

Лемма 1.1. “О дизъюнктивном разложении”. Любая булева функция f(x₁, ... х_m) от m переменных может быть представлена так: f(x₁, ...,х_i,...,х_m)=х_if(x₁, ...,0,...,х_m)  х_if(x₁, ...,1,...,х_m)

Доказательство. При х_i = 0 правая часть принимает значение 0f(x₁, ...,0,...,х_m)  0f(x₁, ...,1,...,х_m), что после использования свойств булевых функций элементарно приводится к f(x₁, ...,0,...,х_m). Аналогично, при х_i=1 правая часть приводится к f(x₁, ...,1,...,х_m).

Доказательство Теоремы 1.1. Разложим функцию f(x₁,...,х_m) последовательно по переменным x₁, x₂,...,х_m:

f(x₁,...,х_m) = х₁f(0,x₂,...,х_m)  х₁f(1,x₂,...,х_m) = х₁х₁f(0, 0, x₃,...,х_m)  х₁х₂f(0, 1, x₃,...,х_m)  х₁х₂f(1,0,x₃,...,х_m)  х₁х₂f(1,1,...,х_m) = ... = х₁х₁... х_mf(0,0,...,0)  х₁х₁... х_mf(0,0,...,1)  ...  х₁х₂... х_mf(1,1,...,1).

Таким образом, любую булеву функцию можно представить как дизъюнкцию термов, каждый из которых представляет собой конъюнкцию всех переменных (с отрицаниями или без них) и значения этой функции на соответствующем конкретном наборе значений переменных. Обозначим для {0,1}, x^= x при =0 и x^=x при =1. Тогда окончательная форма представления любой булевой функции будет иметь вид:

f(x₁,...,х_m) =_i{0,1} х₁^1х₂^2...х_m^mf(₁,₂,...,_m).

Поскольку значения функции на каждом конкретном наборе равны либо 0, либо 1, то в формуле останутся, очевидно, только такие термы, которые соответствуют наборам переменных, на которых функция равна 1: f(x₁,...,х_m) = _{f(1, 2,..., m)=1}х₁^1х₂^2...х_m^m. 

В соответствии с этой теоремой, функция f(p,q,r) = pqrq(pr) примера 1.2 на основании ее табличного представления (Таблица 1.6) имеет следующий вид (как суперпозиция функций И, ИЛИ, НЕ): f(p,q,r) = pqr  pqr  pqr  pqr.

Хотя эта запись чуть более сложна, чем запись исходной функции, ее неоспоримое преимущество в том, что она выражена через суперпозицию только функций И, ИЛИ, НЕ. Более того, такое представление для двоичных функций единственно (с точностью до перестановок термов).

Определение 1.2 Функционально полным набором (или базисом) будем называть такое множество двоичных функций, суперпозицией которых могут быть выражены любые булевы функции.

Очевидно, множество булевых функций {И, ИЛИ, НЕ} является базисом: теорема 1.1 говорит о том, что их суперпозицией можно представить любую булеву функцию от любого числа аргументов. Базис {И, ИЛИ, НЕ} называется базисом Буля.