fan

1???

1.1???

Опр. Метрическое пространство U евклидово, если каждой паре элементов u и v сопаставлено число (u; v) скалярное произведение со следующими свойствами:

1.(u; v) = (v; u)

2.( u; v) = (v; u)

3.(u + w; v) = (u; w) + (v; w)

4.(u; u) 2 R; (u; u) 0; (u; u) = 0 , u = 0

Утв. Неравенство Коши-Буняковского

pp

j(u; v)j (u; u) (v; v)

Опр. Евклидово пространство полное, если оно полно относительно метрики (u; v) = jju vjj.

Опр. Бесконечномерное полное евклидово пространство называется гильбертовым.

Опр. M U выпуклое, если для любых 2х точек в M лежит отрезок, их соединяющий.

Опр. u 2 U; M U. Тогда (u; M) = inf (u; v) = inf jju vjj. Если

v2M v2M

есть такой элемент в M, где достигается равенство, то он называется ближайшим.

Теорема. M выпуклое, замкнутое множество гильбертова пространства U; u 2 U ) в M 9 единственный ближайший к u элемент.

Утв. Тождество Апполония

jjz xjj2 + jjz ujj2 = 12 jjx yjj2 + 2jjz x+2 y jj2 8x; y; z 2 U

Лемма. (о непрерывности скалярного произведения)

!

n!1

Опр. M U; M? = fv 2 U : (v; u) = 0 j u 2 Mg ортогональное дополнение к M.

Лемма. 8 M 2 U; M? является подпространством в U.

1

Теорема. V подпространство гильбертова пространства U )

1.U = V V ?

2.(V ?)? = V

1.2Ортонормированные системы

Пусть U гильбертово пространство, f ng семейство элементов U.

Опр. f ng ортогональна: ( i; j) = 0; i 6= j

Опр. f ng нормированна: jj ijj = 1; 8i

Опр. f ng ортонормированна: ( i; j) = ij

Опр. Пусть feig1i=1 2 U

1

X

Рассмотрим ряд ciei, где ci 2 R(C).

X

Тогда f = ciei сумма ряда.

i=1

Теорема. Пусть feig1i=1 ортонормированная система в гильбертовом пространстве U. Тогда:

1

X

2. Если ряд ckek сходится, то его сумма не зависит от порядка

i=1

XX

i=1 i=1

11

XX

Теорема. Бесселя

1

X

U гильбертово, fekgk2N ОНС в U, u 2 U ) jjujj2 (u; ek)2

i=1

2

Опр. Пусть U гильбертово, u 2 U; fekgk2N ОНС в U. Тогда

Опр. U гильбертово, fekgk2N ОНС в U замкнутая система относительно u 2 U, если неравенство Бесселя выполняется в виде

Опр. fekgk2N ОНС называется полной в U или ортонормированным базиом пространства U, если эта система замкнута относитель-

но любого элемента U.

1

X

То есть: jjujj2 = (u; ek)2 8u 2 U

i=1

Теорема. Пусть U гильбертово и fekgk2N ОНС fckgk2N ОНБ , U Linfekgk2N

Теорема. Пусть U сепарабельное гильбертово пространство ) 9 fekgk2N ОНБ.

3

2Линейные операторы

2.1Основные понятия

Опр. A : X ! Y оператор.

Опр. D(A) = fx 2 X j 9 y 2 Y : A(x) = yg область определения.

Опр. R(A) = fy 2 Y j 9 x 2 X : A(x) = yg область значений.

Опр. Инъективный оператор осуществляет взаимооднозначное соответствие между D(a) и R(A).

Опр. Сюрьективный R(A) = Y .

Опр. Биективный одновременно биективный и сюрьективный.

Пусть X и Y метрические пространства.

Опр. A непрерывен в ( )x 2 D(A), если

8fxngn2N D(A) : xn ! x в X ) A(xn) ! A(x) в Y .

Опрератор непрерывен на всей области определения, если он непрерывен в каждой точке области определения.

Опр. X; Y линейные пространства, A линейный оператор, если:

1.D(A) линейное многообразие в X.

2.A( x + y) = A(x) + A(y); 8 ; 2 R; 8x; y 2 D(A)

Опр. Ker(A) = fx 2 D(A) j Ax = 0g

Опр. Пусть X линейное пространство над R(C), тогда A : X ! R(C) называют функционалом.

2.2Простейшие свойства линейных операторов

A : X ! Y , A 2 L(X; Y )

Теорема. X; Y нормированные пространства. A 2 L(X; Y ). Тогда A непрерывен на D(A) , A непрерывен в ( )0.

Опр. Пусть A 2 L(X; Y ), X; Y нормированные пространства. A ограниченный:

9 C 0 : jjAxjjY C jjxjjX; 8x 2 D(A) jjAjj = inf C

jjAxjjY jjAjj jjxjjX; 8x 2 D(A)

4

Утв. Пусть 9 C 0 : jjAxjjY C jjxjjX; 8x 2 D(A) ) jjAjj C

Опр. A 2 L(X; Y ); A ограничен , A непрерывен.

Опр. A0 продолжение A, если D(A) D(A0) и A0 x = A x; 8 x 2 D(A)

Опр. A0; A 2 L(X; Y ); A0 продолжение A и A0 ограниченный ) A ограниченный и jjAjj jjA0jj

Теорема. X нормированное пространство, Y банахово,

A : X ! Y линейный оператор (ограничен), D(A) X; D(A) = X ) 9A0 ограниченный:

1.D(A0) = X

2.A0x = Ax; 8x 2 D(A)

3.jjA0jj = jjAjj

То есть, оператор A может быть продолжен на все пространство X до непрерывного линейного оператора с сохранением нормы.

2.3Линейные пространства ограниченных операторов

X; Y нормированные пространства, A 2 L(X; Y ); 2 R(C) Тогда:

1.( A)x = (Ax)

2.(A + B)x = Ax + Bx

Таким образом, L(X; Y ) линейное многообразие.

Опр. fAng L(X; Y ); A 2 L(X; Y ); An сходится к A сильно, если:

jjAnx Axjj ! 0 8x 2 X

n!1

Опр. B(X; Y ) множество всех линейных операторов из X в Y (оно также является нормированным пространством).

Лемма. (Формула вычисления нормы оператора)

Теорема. Пусть Y банахово, X нормированное пространство ) B(X; Y ) банахово.

5

2.4Принцип равномерной ограниченности

Теорема. (Принцип равномерной ограниченности)

Пусть X банахово пространство, Y нормированное пространство, fAng B(X; Y ) )

1. sup jjAnjj < +1

n 1

2. 8 фиксированного x 2 X sup jjAnxjj < +1

n 1

Эти формулировки эквивалентны.

Теорема. Банаха-Штейнгауза

Пусть fAng; A 2 B(X; Y ) 8n 2 N, X банахово пространство, Y нормированное пространство. Тогда

Anx ! Ax (в Y ); 8x 2 X (сильная сходимость) ,

n!1

1. Anx ! Ax; 8x 2 X0; где X0 = X

n!1

2. sup jjAnjj = d < +1

n2N

Теорема. Сега

Z 1

0

X

2. sup jAnk j < 1

n2N k=1

2.5Обратные операторы

Пусть A : X ! Y линейное отображение. A инъективный.

Опр. A 1 обратный для A: A 1 : Y ! X; где D(A 1) = R(A)

и x = A 1(y) , y = A(x)

Утв. A 2 L(X; Y ) ) A 1 2 L(Y ; X)

Утв. A 2 L(X; Y ); пусть m 0 : jjAxjjY m jjxjjX ) 9 A 1 2 B(Y ; X) : jjA 1jj m1 8x 2 D(A)

6

Лемма. Пусть X0 = X; x 6= 0 )

X

k=1

Теорема. Банаха

Пусть X; Y банаховы пространства, A 2 B(X; Y ); A биективный,

D(A) = X ) 9 A 1 2 B(Y ; X)

2.6Операторы, действующие из X в X

Пусть A 2 B(X; X) = B(X)

Опр. Произведением операторов A и B называют оператор (AB) :

D(AB) = X и (AB)x = (BA)x

Свойства:

1.A(B + C) = AB + AC

2.A( B) = ( A)B

3.9 I 2 B(X)

4.jjABjj jjAjj jjBjj

5.jjIjj = 1

Замечание. Если на банаховом пространстве введено произведение и вополняются все 5 пунктов, то эта структура называется банаховой алгеброй.

Утв. Пусть A; B 2 B(X) : AB = BA = I ) 9 A 1 2 B(X) : A 1 = B

Следствие. Пусть 9 A 1; B 1 2 B(X) ) 9 (AB) 1 2 B(X) и (AB) 1 = B 1 A 1

Опр. Ak = A : : : A; A0 = I

Теорема. Фон-Неймана

1

X

Пусть A 2 B(X); jjAjj 1 ) 9(I A) 1 2 B(X) и (I A) 1 = Ak

k=0

7

>

:

2.7Введение в спектральную теорию операторов

Пусть X банахово пространство, A 2 B(X); D(A) = X; 2 R(C)

A I 2 B(X); D(A I) = X

Опр. 2 (A) резольвентное множество A

9(A I) 1 2 B(X); D((A I) 1) = X(A) = R(C)n (A)

9(A I) 1 2 B(X); D((A I) 1) = X , A I биективный.

2 (A) , A I биективный.

Теперь рассмотрим случай, когда A не биективный.

1.Пусть A I не инъективный , Ker(A I) 6= 0 , Ax = x

2.R(A I) не замкнутое.

Пусть 2 c(A) (continious). Пусть 2 c(A)n p(A)(точечный) ) (A I) инъективный. ) 9(A I) 1 2 L(X; X)

D((A I) 1) = R(A I) = X0 не замкнутое в X.

Утв. (A I) 1 2= B(X)

3.Пусть R(A I) замкнут, то R(A I) 6= X, тогда говорят, что2 r(A)(rest) остаточный спектр.

(A) = p(A) [ c(A) [ r(A)

Утв. Пусть j j > jjAjj ) 2 (A)

Следствие. (A) ограниченное в R(C)

Следствие. (A) открытое в R(C)

Следствие. (A) компактное в R(C)(замкнутое и ограниченное)

8

3Линейные функционалы

3.1Теорема Хана-Банаха

Теорема. Хана-Банаха X нормированное пр-во,

L X, L линейное многообразие, f : X ! X линейное отображение

Тогда 9 линейный функционал F : X ! R

1.F (x) = f(x) 8x 2 L

2.jjF jj = jjfjj

Следствие. 1

Пусть x0 6= 0 ) 9 линейный ограниченный функционал, действующий из X ! R : 2 B(x; R):

1.(x0) = jjx0jj

2.jj jj = 1

Следствие. 2

Пусть 8f 2 B(X; Y ) и x0 2 X; где X нормированное пр-во f(x0) = 0 ) x0 = 0

Следствие. 3

X нормированное пр-во; L X L линейное многообразие:

Пусть x0 2 X : (x0; L) = d > 0

Тогда 9f 2 B(X; R):

1.f(x) = 0 8x 2 L

2.f(x0) = 1

3.jjfjj = d1

3.2Сопряженное пространство

Пусть X нормированное пространство

Опр. Пространство всех линейных ограниченных функционалов на X называется сопряженным к X.

X = B(X; R) сопряженное пространство.

9

Теорема. Рисса (об общем виде линейного ограниченного функционала в гильбертовом пространстве)

Uгильбертово пространство.

1.8u 2 U u ! g(v) = (v; u):

(a)g 2 U

(b)jjgjjU = jjujjU

2.8g 2 U 9!u 2 U:

(a)g(v) = (v; u) 8v 2 U

(b)jjg(v)jjU = jjujjU

Замечание. Из теоремы следует, что U и U неразличимы с точки зрения нормированных пространств.

Теорема. Рисса (об общем виде линейного ограниченного функционала в lp; p = (1; +1); q = pp 1 ; 1q + 1q = 1 )

1

X

1. Пусть 2 lp и f(x) = xk k подобная формула задает линей-

k=1

ный ограниченный функционал. Тогда f 2 (lp) и jjfjj(lp)

2. Пусть f 2 (lp) , тогда:

1

X

(a) 9! 2 lq : f(x) =

k=1

(b) jjfjj(lp) = jj jjlq

Теорема. Рисса (об общем виде функционала в Lp(E); 1 < p < 1)

1. Пусть g 2 Lq(E) )

Z

(a) l(f) = gdx 8f 2 Lp(E)

E

(b)l 2 (Lp(E)) jjljj(Lp(E)) = jjgjjLq(E)

2.Пусть l 2 (Lp(E)) )

Z

(a) 9!g 2 Lq(E) : l(f) = fgdx 8f 2 Lp(E)

E

(b) jjgjjLq(E) = jjljj(Lp(E))

10