БАБЕНКО метода
.pdf
|
i 1 |
41 |
|
|
|
||
|
i2 |
e(t) = 25 cos(ωt −π 6) В, |
|
r1 |
i1 |
||
|
|||
e |
r2 |
ω =5 10 3с-1, С=10 мкФ |
|
|
C |
r1 =20 Ом, r2 =10 Ом. |
|
|
|
0
а). Определим напряжение на конденсаторе к моменту коммутации (при замкнутом ключе), т.е. найдем независимое начальное условие. Рассматриваемая электрическая цепь - это схема с двумя узлами, напряжение на конденсаторе равно ЭДС источника
uC (t) = e(t), uC (0− ) = 25 cos(π
6) = 21.65 В.
б). Найдем вынужденную составляющую uСвын (t) для цепи с разомкнутым ключом. Воспользуемся методом комплексных амплитуд и методом узловых потенциалов. Примем за опорный узел 0. Для узла 1 справедливо уравнение:
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o |
|
ϕ |
|
|
+ |
+ |
jωC |
= |
E |
. Напряжение на конденсаторе U |
|
=ϕ |
|
= 7.9e− j 48.4 |
|
В. |
||
|
|
r |
r |
|
|
|
||||||||||
|
1 |
r |
|
|
|
|
|
C |
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
uC (t) = 7.9 cos(ωt − 0.27π) В.
в). Составим дифференциальное уравнение для напряжения на конденсаторе в переходном режиме. Из законов Кирхгофа следует:
i = i + i |
2 |
, |
i = C |
duC |
, |
|
i |
2 |
= |
uC |
, i r + u |
C |
= e(t) . |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1 |
|
1 |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
r2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
C r |
duC |
+ |
r1 + r2 |
|
u |
C |
= e(t) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Корень характеристического уравнения |
|
|
Cr p + |
r1 + r2 |
= 0 |
p |
= − |
r1 + r2 |
. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
r2 |
|
|
1 |
|
Cr1r2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Постоянная времени цепи τ = |
Cr1r2 |
= 3.33 10−5 c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
r + r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Свободная составляющая напряжения на конденсаторе в переходном режиме
−t
uСсв (t) = B exp( p1t) = Be τ .
42
г). Итак, в переходном режиме напряжение на конденсаторе
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
uC перех (t) = uCсв (t) + uCвын (t) = Be |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
τ + 7.9 cos(ωt − 0.27π) В. |
|
||||||||||||||||||
В момент t = 0+ |
uC перех (0+ ) = B + 7.9 cos(0.27π) В. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Так как uC (0+ ) = uC (0− ) =21.65 В, |
|
В = 16.4 В. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uC перех (t) =16.4e |
|
+ 7.9 cos(ωt − 0.27π) В. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
||||||||||||
Ток i (t) в ветви генератора напряжения iперех (t) = C |
duC перех |
+ |
uC перех |
= |
||||||||||||||||
dt |
|
r2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
− |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −3.3e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
τ + 0.79 cos(ωt − 0.27π) − 0.4 sin(ωt − 0.27π) А. |
|
||||||||||||||||||
В момент коммутации iперех (0+ ) = −2.48 А. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Ток i (t) |
|
в |
|
|
установившемся |
режиме |
в цепи |
до |
коммутации |
|||||||||||
i(t) = C |
de(t) |
+ |
e(t) |
= −ωCEm sin(ωt −π 6) + 1 |
Em cos(ωt −π 6) А. |
|
||||||||||||||
dt |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
i(0− ) = 2.78 А – ток i (t) в момент размыкания ключа изменяется скачком.
Расчет переходных процессов с помощью преобразования Лапласа.
Операторный метод расчета переходных процессов в линейных электрических цепях также целесообразен и эффективен, как эффективен и целесообразен символический метод расчета установившегося режима при гармонических напряжениях и токах. В основе операторного исчисления лежит прямое интегральное преобразование Лапласа, с помощью которого функции времени f (t) преобразуются в функции комплексного переменного
p =σ + jω : |
ˆ |
∞ |
−pt |
dt , |
f |
ˆ |
|
||||||
F( p) = ∫ f (t)e |
|
(t) – оригинал, F( p) - изображение |
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
функции, р –комплексная частота, или оператор.
Если задача решена для изображения, то для нахождения f (t) необходимо
|
|
1 |
σ |
0 |
+ jω |
|
|
|
|
|
|
ˆ |
pt |
|
|
выполнить обратное преобразование Лапласа |
f (t) = |
2πj σ0 |
∫F ( p)e |
|
dp . |
||
|
|
− jω |
|
|
|||
43
Соответствие между оригиналом и изображением взаимно однозначно. Во многих учебниках и справочниках приведены таблицы соответствия некоторых функций (оригиналов) и их изображений, поэтому процедура вычисления интегралов в большинстве случаев не требуется.
Преобразование Лапласа можно применять для расчета колебаний в цепи, начиная с любого (фиксированного) момента, если известно состояние цепи в этот момент (известны напряжения на емкостных элементах и токи в индуктивных элементах).
Для расчета цепи операторным методом необходимо записать изображения функций, описывающих источники, и перейти к операторной схеме замещения с учетом начальных условий. Для этого необходимо участки электрической цепи с пассивными элементами заменить следующим
образом: r |
i |
|
|
|
r |
ˆ |
|
|
ˆ |
ˆ |
|
|
I ( p) |
|
u(t) = ri(t) ÷ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
|
U ( p) = rI ( p) |
|
|
|||
u
L |
i |
|
di |
ˆ |
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
u(t) = L dt |
÷ U |
( p) = pLI ( p) − Li(0) |
||||||
u |
|
|
|
|
|
|
i t =0 |
= i(0) |
|
C |
i |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
t |
|
|
|
|
|
pC |
||
|
|
|
|
÷ |
|
||||
|
u(t) = |
∫i(t)dt + u(0) |
|
|
|
||||
|
|
C |
0 |
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
ˆ |
1 |
ˆ |
|
u(0) |
|
|
|
|
U ( p) = |
pC |
I |
( p) + |
|
p |
|
ˆ
U ( p)
pL Iˆ( p) Li(0)
ˆ
U ( p)
u(0)
Iˆ( p) p
ˆ
U(p)
ZL (p) = pL – операторное сопротивление индуктивности,
ZC ( p) = pC1 -операторное сопротивление емкости. Источники Li (0) и u(p0)
присутствуют в схеме замещения, если в момент t = 0 через индуктивный элемент протекал ток i (0), а на емкостном элементе было напряжение u(0).
44
Расчет операторной схемы замещения производится любым известным методом. Для того, чтобы затем найти оригинал полученных решений, можно воспользоваться теоремой разложения.
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
Предположим, что найденное решение F( p) является рациональной дробью |
|||||||||||||
ˆ |
A( p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
F ( p) = |
B( p) |
, А(р) – полином степени m, В(р) – полином степени n. |
|
||||||||||
A( p) = a |
m |
p m + a |
m−1 |
p m−1 +... + a p + a |
0 |
, B( p) = b |
n |
p n + b |
n−1 |
p n−1 +... + b p + b . |
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
0 |
|||||
Считаем, что степень полинома в числителе меньше степени полинома в
знаменателе m < n, корни pi |
уравнения B(p) = 0 – простые. |
|
|
|
|
|
|||||||
B( p) = bn ( p − p1 )( p − p2 )...( p − pn ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
ˆ |
|
|
|
|
A( p) |
|
n |
A( pk ) |
|
pk t |
|
|
Тогда изображению F ( p) соответствует оригинал |
|
|
÷ |
∑ |
|
e |
|
. |
|||||
B( p) |
′ |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
B ( pk ) |
|
|
|
||
B′( pk ) - производная полинома B(p) по переменной р, вычисленная при |
|
|
|||||||||||
р = рk. Если одним из корней полинома В(р) является 0, |
т.е. В(р)=р В1(р), |
||||||||||||
тогда теорема разложения принимает вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
A( p) |
|
A(0) |
n−1 |
A( pk ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
+ ∑ |
|
e pk t |
|
|
|
|
|
|
|||
|
pB1 ( p) |
B1 (0) |
pk B1′( pk ) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Рассмотрим пример.
В электрической цепи действует источник постоянного напряжения. Определить ток, протекающий через конденсатор после замыкания ключа.
r1 |
i |
r2 |
Е= 24 В, |
|
E |
C |
r=20 Ом, |
r1=50 Ом, |
|
|
r uC |
|
r2=100 Ом, |
С= 3 мкФ. |
Перейдем к операторной схеме замещения. До замыкания ключа ток в цепи, содержащей конденсатор и находящейся под действием постоянного напряжения, отсутствовал. В момент t = 0 напряжение на конденсаторе uC (0) = E , следовательно, емкостной элемент в операторной схеме
|
|
|
|
|
|
|
45 |
замещения |
будет |
представлен операторным |
сопротивлением |
|
1 |
и |
|
|
|
|
|
|
|
pC |
|
|
|
uC (0) |
|
ˆ |
E |
|
|
источником |
ЭДС |
p . |
Изображение ЭДС |
источника E( p) = |
p |
- |
это |
изображение постоянной. |
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
r1 Iˆ( p) |
1 |
|
|
|
|
|
E |
|
pC |
|
|
|
|
|
p |
r |
r2 |
|
|
|
uC (0)
p
0
Проведем расчет, используя метод узловых потенциалов. В схеме замещения
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
E 1 |
|
|
uC (0) |
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
два узла. |
ϕˆ1 ( p) |
|
+ |
|
+ |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||
|
r1 |
|
r2 |
|
r + |
|
|
|
|
|
p r1 |
|
|
|
|
p |
|
r + |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pC |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
pC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ток Iˆ( p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
u |
C |
(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
найдем из соотношения |
Iˆ( p) r + |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
=ϕˆ |
1 |
( p) |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
В результате подстановки числовых данных |
|
Iˆ( p) = −0.15 |
|
|
1 |
|
|
. Полином |
||||||||||||||||||||||
|
p + |
6250 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
знаменателя имеет единственный корень р1 = - 6250. Воспользовавшись теоремой разложения, получаем i(t) = −0.15 exp(−6250t) А.
i(t) |
t |
0.15 |
|
Расчет переходного процесса с помощью интеграла Дюамеля.
Метод наложения (принцип суперпозиции) позволяет разложить заданное входное воздействие сложной формы на подобные друг другу слагаемые
46
более простой формы, для которых легко найти реакцию цепи. Определив отклик цепи на каждую такую элементарную составляющую воздействия и просуммировав эти отклики, находим реакцию цепи на сложное воздействие. Элементарные составляющие воздействия выражают с помощью двух функций: единичной функции (единичного скачка) и импульсной функции (дельта - функции).
Единичная функция 1(t −τ) = 0, |
t <τ |
1 |
|
|
|
||
1, |
t ≥τ |
|
t |
|
|
0 |
|
|
|
τ |
Реакция цепи на единичную функцию называется переходной характеристикой цепи. Обозначим ее h(t). Для определения переходной характеристики необходимо рассчитать переходный режим в цепи при нулевых начальных условиях при включении единичной функции на входе цепи. Переходная характеристика – функция времени, зависящая от параметров и схемы электрической цепи.
Входное воздействие f1(t) можно представить совокупностью ступенчатых скачков, имеющих разные значения и возникающих с определенным временным сдвигом. Для получения совокупного отклика цепи f2(t) на заданное входное воздействие f1(t) следует просуммировать отдельные отклики на скачки, устремив интервалы разбиения входной функции к 0.
|
|
|
f1(t) |
f1(t) |
f2(t) |
|
|
|
|
f1(0) |
t |
|
|
|
|
|
|
|
τ τ+∆τ |
|
t |
|
|
f 2 (t) = |
′ |
|
|
f1 (0)h(t) + ∫h(t −τ) f1 |
(τ)dτ - это одна из четырех возможных форм |
||
|
0 |
|
|
записи интеграла Дюамеля (формула Дюамеля).
47
Интеграл Дюамеля применим и в случаях, когда входная функция представляет собой кусочно-непрерывную функцию, содержащую одномоментные скачки конечной величины.
Рассмотрим примеры. 1.
|
R |
R= 40 Ом, С =150 нФ, tu =6 мкс |
|
u1(t) |
u2(t) |
||
R |
|||
|
C |
На входе электрической цепи действует напряжение
|
U , |
0 |
≤ t ≤ |
tu |
|
|
u1(t |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
tu |
2 |
|
U |
|
|
|
t |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tu/2 |
|
tu |
|||
u1 |
(t) = −U , |
|
|
|
|
≤ t ≤ tu |
|
|
|
|||||
2 |
|
|
||||||||||||
|
|
0, |
t ≥ tu |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
-U |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определить напряжение u2 (t) на выходе цепи.
Определим переходную характеристику цепи. Для рассматриваемой задачи это напряжение на выходе цепи при подаче на вход напряжения,
описываемого единичной функцией времени. Решение |
проведем |
||
ˆ |
|
1 |
|
операторным методом. Изображение входного напряжения U |
вх ( p) = |
p |
. В |
|
|
|
|
операторной схеме замещения емкостной элемент заменен элементом с сопротивлением pC1 , дополнительный источник напряжения отсутствует,
так как в этом случае задача имеет нулевые начальные условия. Напряжение
на выходе в этой схеме |
- это изображение |
переходной характеристики |
||
ˆ |
ˆ |
|
|
|
U вых ( p) = H ( p) . |
|
|
|
|
|
1 |
R |
1 |
ˆ |
|
|
|||
|
p |
R |
pC |
U ( p) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48 |
|
Операторное сопротивление |
|
|
цепи |
|
|
Z ( p) = R + Z|| ( p), |
Z|| ( p) = |
R 1 |
pC |
- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R +1 pC |
||
операторное сопротивление параллельно соединенных элементов. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
ˆ |
|
|
1 Z|| ( p) |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h(t) |
||||
U вых ( p) = |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
Для нахождения |
оригинала |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
p Z ( p) |
|
RC p( p + |
|
|
2 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
RC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
воспользуемся теоремой разложения. |
Корни полинома знаменателя p1 = 0, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
− |
2t |
|
|
1 |
|
|
− |
2t |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
p2 = − |
|
|
. |
|
|
|
h(t) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
e |
|
RC |
= |
|
1 |
− e |
|
RC |
. |
|
|
||||
RC |
|
|
|
|
RC |
2 RC |
|
(− 2 RC) |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теперь можно определить напряжения на выходе цепи при подаче на вход указанного импульса напряжения. Входная функция кусочно-непрерывная, задана в трех интервалах изменения времени.
1). 0 ≤ t ≤ t2u . В этом интервале времени сигнал на входе u1(1) (t) =U = const ,
скачок напряжения произошел в момент t = 0, следовательно, напряжение на выходе будет пропорционально переходной характеристике, записанной для τ = 0 (см. стр.46), коэффициент пропорциональности – это U.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
− |
2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
u2 (t) =U h(t) = |
|
|
1 − e |
|
RC . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2). |
|
tu |
≤ t ≤ tu . |
Скачкообразное изменение напряжения на входе в момент |
||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
t = |
tu |
|
|
учтем, |
|
положив, |
|
что |
в |
этот момент |
к |
цепи подключается |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
дополнительное напряжения в виде скачка u1(2) |
− u1(1) |
= −2U . Это порождает |
||||||||||||||||||||
скачок напряжения на выходе ∆u2 |
= −2U h(t − |
tu |
) . |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) = U |
|
2t |
|
2(t −tu |
2) |
|||
u2 (t) =U h(t) − 2U h(t − tu |
(1 − e−RC ) −U (1 − e− |
|
RC |
) = |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
− |
2t |
|
|
tu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= − |
|
1 |
+ e |
|
RC 1 − 2e RC |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49
3). t ≥ tu . Скачок напряжения на входе при t = tu равен u1(3) − u1(2) =U . При этом изменение напряжения на выходе ∆u2 =U h(t − tu ) .
u2 (t) =U h(t) − 2U h(t − tu
U
-U
2) +U h(t − tu ) u2(t)
0.32U
= − |
U |
e |
− |
2t |
|
|
tu |
2 |
|
|
|||||||
2 |
|
RC 1 |
− e RC . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t
-0.2U
Напряжение u2 (t) - это напряжение на емкостном элементе, поэтому при скачках напряжения u1 (t) на входе на выходе в эти моменты времени (t = 0,
t = t2u , t = tu ) напряжение не изменяется. При подаче импульса на вход цепи, в ней возникает переходный процесс. Постоянная времени рассматриваемой цепи τ = RC2 = 3 мкс, что сопоставимо с длительностью
импульса tu = 6 мкс. Если считать, что та или иная переменная не должна отличаться от своего установившегося значения более, чем на 5%, то можно полагать, что переходный процесс практически заканчивается за время,
равное 3τ. Если бы к моменту t = t2u переходный процесс закончился,
напряжение на выходе цепи равнялось бы u2 t2u = U2 . При заданной форме
входного импульса (напряжение u1 (t) = const в двух интервалах изменения времени) отклик на выходе цепи – суперпозиция откликов на единичные скачки напряжения, поступающие на вход в некоторые определенные моменты времени (в моменты скачков), взятые с известными постоянными множителями. При t > tu сигнал на входе цепи отсутствует, с увеличением времени (t → ∞) переходный процесс в цепи завершается.
50
2.На вход электрической цепи в момент t = 0 подается напряжения U, которое линейно убывает и становится равны 0 при t = tu. Определить напряжение на выходе цепи.
|
|
|
R = 12 Ом, L = 50 мкГн, tu = 8 мкс |
||||
|
R |
|
|
|
U |
|
|
u1(t) |
L |
R |
u2(t) |
(t − tu ), 0 ≤ t ≤ tu |
|||
− |
tu |
||||||
|
|
|
u1 |
(t) = |
|
||
|
|
|
|
|
|
0, t ≥ tu |
|
|
|
|
|
|
|
||
Переходный процесс в такой электрической цепи, при подключении к цепи в момент t = 0 источника постоянного напряжения, был рассмотрен в примере на стр. 38. Задача была решена классическим методом. Был определен, в частности, ток i2 (t). Поэтому выражение для переходной характеристики цепи можно записать, воспользовавшись результатом, полученным на стр.40.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
− |
Rt |
|
|
|
При |
r |
= r |
= R, |
E(t) =1(t) |
i |
2 |
(t) = |
e |
2L , |
следовательно, |
||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2R |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
− |
R t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h(t) = i2 (t)R = |
e |
2L . |
Заметим, что |
переходная |
|
|
характеристика в |
|||||||||||
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
рассматриваемой задаче определена именно так потому, что требуется определить напряжение на выходе цепи при заданном изменении входного напряжения. В этом случае переходная характеристика не имеет размерности. В общем случае переходная характеристика может связывать разные по физической сущности величины, например, определять отклик тока на выходе цепи на единичный скачок напряжения на входе.
Запишем выражение для напряжения на выходе цепи при подаче на вход треугольного импульса. Воспользуемся интегралом Дюамеля.
а). Для моментов времени 0 ≤ t ≤ tu :
t |
U |
|
− |
R t |
|
|
2L |
|
Rt |
u2 (t) =U h(t) + ∫u1′(t)h(t −τ)dτ = |
|
e |
|
2L |
1 |
− |
|
e |
2L |
2 |
|
Rtu |
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 . Первое слагаемое
описывает отклик цепи на скачок напряжения на входе в момент t = 0, второе