9.Теорема Коши

f (b) f (a)

f (c)

,

(3.1)

g(b) g(a)

g (c)

F (x) f (x)

f (b) f (a)

g (x) ;

(3.2)

g(b) g(a)

интервале (a, b) найдѐтся хотя бы одна точка с такая, что F (с) 0.

При х с

из (3.2)

получаем: 0 f (с)

f (b) f (a)

g (с) , отсюда следует

равенство

g(b) g(a)

(3.1).◄

Пример 3.1. Проверить справедливость теоремы Коши для

функций

f (x) x3 8x и g(x) x2

2 2x , заданных на отрезке [2, 4].

►Для

f (x) и g(x)

на отрезке [2,4] выполнены все условия теоремы

справедлива

формула

Коши,

имеющая в

данном

случае

вид:

f (4)

f (2)

3c2 8

или

40

3c2

8

. Отсюда для с

получаем уравнение:

g(4)

g(2)

c 2

2

c 2

3c2 20c 32 0 ,

которое

имеет

два корня:

c 4, c

8 3. Так

как

1

2

параметрически:

x x(t) ,

y y(t) ,

t [α,β] ,

а функции

x(t) , y(t)

удовлетворяют

на

отрезке

[α,β]

условиям

y

y(β) y(α)

yt (γ)

теоремы Коши, поэтому:

, где

у (β)

B

x(β) x(α)

x (γ)

t

T

(α,β) (см. (3.1)). Правая часть этого равенства

у (γ)

C

yt ( )

= y (x(γ))

–

угловой

коэффициент

у (α)

xt ( )

x

A

касательной, проведѐнной в точке C(х(γ),(y(γ)) к

x

кривой Г, а левая – угловой коэффициент хорды

O

x( )

x( ) x( )

АВ, А(х(α),(y(α)),B(х(β),(y(β)).

Рис. 4.1. К геометрической

интерпретации

Итак,

на кривой Г

есть точка

С такая, что

теоремы Коши

проведѐнная в ней касательная Т к Г параллельна

хорде, соединяющей концы дуги Г (рис. 4.1).

2º. Физическая интерпретация теоремы Коши. Пусть материальная

точка

движется

по

дуге Г,

заданной

параметрически:

x x(t) ,

y y(t) ,

[t1, t2 ] . Параметр t трактуется как время, а функции x(t) ,

y(t) удовлетворяют

на этом про

y(t2 ) y(t1 )

y (t*)

,

t* (t , t

2

) . Итак, на интервале

(t , t

) есть момент

2

x(t2 ) x(t1 )

x (t*)

1

1