Рыжаков И.Ю. Определенный интеграл

2. Если существуют ∫аb f1 (x)dx и ∫аb f2 (x)dx , то существует и

∫аb ( f1 (x) + f2 (x))dx , причем ∫аb ( f1 (x) + f2 (x))dx = ∫аb f1 (x)dx + ∫аb f2 (x)dx .

3. Если существует ∫аb | f (x) | dx , то существует и ∫аb f (x)dx , причем

∫ab f (x) dx ≤ ∫аb | f (x) | dx .

4) Пусть функция f непрерывна на (a,b), а Ф – её первообразная на этом интервале. Справедливы утверждения:

*) ∫аb f (x)dx существует тогда и только тогда, когда существуют

Компактная запись последней формулы выглядит так:

∫ab u dv = u v ba−+00 − ∫ab v du.

Пример 14. Рассмотрим ∫−+∞∞1 +dxx2 . Функция Ф (х) = arctgx является первообразной для подынтегральной функции на (-∞,+∞), Ф(-∞) =- π2 , Ф(+∞) = π2 ; значит, интеграл сходится, и ∫−+∞∞1 +dxx2 = Ф(+∞) - Ф(-∞) = π.

Пример 15. Рассмотрим ∫−11 1 −dxx2 . Это несобственный интеграл, так как

точки ±1 являются особыми для подынтегральной функции. Ф(х) = 1 ln 1 + x

2 1 − x

является первообразной для подынтегральной функции; Ф(х)→ +∞ при х → →1- 0. Этого достаточно для заключения: интеграл расходится.

2.4. Замена переменной под знаком несобственного интеграла

Пусть функция φ непрерывна и строго монотонна на промежутке α, β , α < β, ограниченном или неограниченном. Обозначим: Е(φ) – множест-

во её значений на α, β ; а = inf Е(φ), b = sup Е(φ) (если φ не ограничена снизу на α, β , то а= - ∞; если φ не ограничена сверху, то b =+ ∞). В силу

теоремы о множестве значений строго монотонной функции ([1], стр. 67) Е(φ) представляет собой промежуток а,b , причем а принадлежит Е(φ) тогда

33

и только тогда, когда α принадлежит α, β ; b принадлежит Е(φ) тогда и только тогда, когда β принадлежит α, β .

Пример 16. 1) Функция tg u непрерывна и возрастает на ограниченном интервале (−π2 , π2 ) , множество её значений есть неограниченный интервал

( - ∞,+ ∞). 2) Функция arctg u непрерывна и возрастает на неограниченном интервале ( - ∞,+ ∞), множество её значений есть ограниченный интервал

(−π2 , π2 ) . 3) Функция φ(u) = 1 −1 u непрерывна и возрастает на ограниченном

полуоткрытом промежутке [0,1), множество её значений есть неограниченный полуоткрытый промежуток [1, + ∞).

Теорема 1. ( О замене переменной в несобственном интеграле )

Пусть функция φ непрерывно дифференцируема и возрастает (убывает) на промежутке α, β , ограниченном или неограниченном , а функция f

непрерывна на промежутке а,b , являющемся множеством значений φ на

α, β . Тогда:

1)чтобы существовал интеграл ∫ab f (x)dx необходимо и достаточно,

чтобы существовал ∫αβ f (ϕ(u))ϕ′(u)du ;

2) если указанные интегралы существуют, то справедливо равенство

► Доказательство проведем для возрастающей φ ; для убывающей функции оно аналогично.

Обозначим через ω функцию, обратную φ. По теореме о непрерывности обратной функции ( [1], стр. 69) ω непрерывна и возрастает на а,b .

Выберем некоторое u0, α < u0 < β, и обозначим: с = φ(u0). Ясно,что а< c <b . Заметим ещё: u0 = ω(с).

1) Необходимость Пусть ∫ab f (x)dx существует, т.е. является либо определенным, либо сходящимся несобственным интегралом. Докажем, что тогда существует интеграл∫αβ f (ϕ(u))ϕ′(u)du ; для этого достаточно установить суще-

ствование интегралов ∫αu0 f (ϕ(u))ϕ′(u)du и ∫uβ0 f (ϕ(u))ϕ′(u)du .

Докажем существование ∫αu0 f (ϕ(u))ϕ′(u)du . Пусть α <t <u0 . Сегмент [t,u0] функция φ отображает на [φ(t),c] , поэтому справедливо равенство между определенными интегралами ∫ϕc(t ) f (x)dx = ∫tu0 f (ϕ(u))ϕ′(u)du (см. замечание 2 к теореме 2, п. 1.12). Здесь t - любое, α <t <u0 . Перейдем в этом равенстве к пределу при t → α + 0 . Заметим: ∫ab f (x)dx существует; значит, существует ∫aс f (x)dx ,

34

t→lima+0 ∫tu0 f (ϕ(u))ϕ′(u)du = t→lima+0 ∫ϕc(t ) f (x)dx = ∫aс f (x)dx .

Таким образом, ∫αu0 f (ϕ(u))ϕ′(u)du существует и равен ∫aс f (x)dx .

Докажем существование ∫uβ0 f (ϕ(u))ϕ′(u)du . Пусть u0 < t < β . Сегмент [u0,t] функция φ отображает на [c, φ(t) ] поэтому справедливо равенство между определенными интегралами ∫сϕ(t ) f (x)dx = ∫ut0 f (ϕ(u))ϕ′(u)du . Здесь t - любое, u0 < t < β . Перейдем в этом равенстве к пределу при t → β −0 . Так как

ражает сегмент [ω(ξ),u0] на [ξ,c], поэтому справедливо равенство между опре-

35

что точка 0 - особая для подынтегральной функции; значит мы имеем дело с несобственным интегралом по промежутку (0, 1e] Выясним, сходится ли он,

и в случае сходимости вычислим его. Функция ϕ(u) =eu возрастает на проме-

ладки, на которые опирается это заключение, удобно записывать в виде цепо-

венства между интегралами носят формальный характер до тех пор, пока не выяснится, что последний из них существует.

а множество Е(φ) её значений есть [a,b) = [1, + ∞) ; поэтому

значит, по теореме 1 заданный интеграл сходится, а написанное выше равен-

36

Итак, заданный интеграл сходится и равен ln(1 + 2 3 3 ) .

2.5 Главное значение несобственного интеграла по интервалу

Пусть функция f определена на некотором ограниченном интервале (a,b), a < b, и интегрируема на любом сегменте, содержащемся в (a,b); и

пусть обе точки a и b являются особыми для f. Тогда ∫ac f (x)dx и ∫cb f (x)dx , где

с – некоторая точка, a < с < b, - несобственные интегралы, каждый из которых может быть сходящимся или расходящимся.

Сходимость интеграла ∫ac f (x)dx эквивалентна существованию предела t→lima+0 ∫tc f (x)dx (см. п. 2.2), который, если положить ε1 = t – a, можно записать как εlim1 →+0 ∫аc+ε1 f (x)dx . Аналогично, сходимость интеграла ∫cb f (x)dx эквивалентна существованию предела εlim2 →+0 ∫сb−ε2 f (x)dx . Согласно определению п.2.3 сходи-

мость интеграла ∫ab f (x)dx эквивалентна существованию обоих этих пределов, причем, если они существуют,то

∫ab f (x)dx = ∫ac f (x)dx + ∫cb f (x)dx = εlim1 →+0 ∫аc+ε1 f (x)dx + εlim2 →+0 ∫сb−ε2 f (x)dx .

Здесь каждый из двух предельных переходов совершается независимо от другого, т.е. ε1 и ε2 стремятся к +0 независимо друг от друга.

Однако, особый интерес представляет частный случай описанных выше предельных переходов, а именно тот случай, когда ε1 и ε2 стремятся к +0, будучи связанными равенством ε1 = ε2 . Речь идет, таким образом,о пре-

ют εlim1 →+0 ∫аc+ε1 f (x)dx и εlim2 →+0 ∫сb−ε2 f (x)dx , то существует и εlim→+0 ∫аb+−εε f (x)dx , причем он равен сумме первых двух пределов. Обратное утверждение неверно: из су-

37

Определение 1. Если существует предел εlim→+0 ∫аb+−εε f (x)dx , то это число называют главным значением несобственного интеграла ∫ab f (x)dx .

Обозначают главное значеие интеграла ∫ab f (x)dx символом v.p. ∫ab f (x)dx . Таким образом,

если этот предел существует. В таком случае говорят, что несобственный интеграл ∫ab f (x)dx сходится в смысле главного значения.

Если ∫ab f (x)dx сходится (см. п.2.3), то он сходится и в смысле главного значения, причем в этом случае ∫ab f (x)dx = v.p. ∫ab f (x)dx . Важно отметить, что расходящийся интеграл ∫ab f (x)dx может оказаться сходящимся в смысле главного значения.

v.p. ∫−11 1 −dxx2 . = 0.

Пусть теперь f определена на неограниченном интервале (-∞,+∞) и интегрируема на всяком сегменте числовой оси.

Определение 2. Если существует предел Еlim→+∞ ∫−ЕЕ f (x)dx , то это число называют гдавным значением несобственного интеграла ∫−+∞∞ f (x)dx .

Обозначают главное значение интеграла ∫−+∞∞ f (x)dx символом v.p. ∫−+∞∞ f (x)dx . Таким образом,

если этот предел существует. В таком случае говорят, что несобственный интеграл ∫−+∞∞ f (x)dx сходится в смысле главного значения. Если ∫−+∞∞ f (x)dx схо-

дится, то он сходится и в смысле главного значения, причем в этом случае ∫−+∞∞ f (x)dx = v.p. ∫−+∞∞ f (x)dx . Расходящийся интеграл ∫−+∞∞ f (x)dx может сходиться

в смысле главного значения.

Таким образом, ∫0+∞ 1х+dxx2 . расходится; этого достаточно для заключения:

38

2.6. Несобственный интеграл от функции, имеющей особые точки внутри промежутка интегрирования

Пусть a,b - некоторый промежуток, ограниченный или неограниченный, а {x j }lj=0 , l≥2, набор точек, a=x0 <x1 <x2 < …<xl-1 <xl=b. Пусть, далее,

функция f , удовлетворяет следующим требованиям:

1) f определена во всех точках промежутка a,b , за возможным исключением всех или некоторых точек набора {x j }lj=0 ;

2)f интегрируема на любом сегменте, который принадлежит a,b и не содержит ни одной из точек набора {x j }lj=0 ;

3)f не интегрируема на хотя бы одном из интервалов Xj = (xj-1,xj), j=

=1,2, …,l.

Заметим, что в описанной ситуации среди интегралов ∫xxjj−1 f (x)dx , j = 1,2,

…,l, имеется хотя бы один несобственный интеграл, сходящийся или расходящийся.

Определение. Если все интегралы ∫xxjj−1 f (x)dx , j = 1,2, …,l, существуют

( т.е. каждый из них является либо определенным, либо сходящимся несобственным интегралом), то их сумму называют несобственным интегралом от функции f по промежутку a,b .

Интеграл, введенный этим определением, обозначают символом ∫ab f (x)dx . Таким образом,

если все интегралы в правой части равенства существуют. В этом случае говорят, что функция f интегрируема в несобственном смысле на промежутке

a,b , а несобственный интеграл ∫ab f (x)dx сходится. Если же хотя бы один из

точки х1=1, и непрерывна, а потому и интегрируема на любом сегменте, кото-

39

=∞ , то х0= 0 и х1= 1 являются особыми точками подынтегральной функции,

=ln(3 + 2 2) .

расходится.

Литература

1.Рыжаков И.Ю. Предел последовательности. Предел функции. Непрерывные функции. Изд. СПбГТУ, 2002

2.Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, т. 1 М., 1981

Оглавление

1.4Геометрический смысл интегральных сумм неотрицательной функции ………. 6

1.8.Свойства определенного интеграла, выражаемые равенствами ……………... 14

1.9.Свойства определенного интеграла, выражаемые неравенствами ……………. 15

1.10. Теоремы о среднем для определенного интеграла ……………… ………….. 16

1.11.Определенный интеграл с переменным верхним пределом …………………… 18

1.12.Способы вычисления определенных интегралов ……………… ……………. 20

2.Несобственные интегралы

2.4.Замена переменной в несобственном интеграле ………………………………. 33

40

2.5. Главное значение несобственного интеграла ………………………………… 36

2.6.Несобственный интеграл от функции, имеющей особые точки

внутри промежутка интегрирования ………………………………………… 39

41