Рыжаков И.Ю. Определенный интеграл

интегралов, которые возникают как обобщение понятия определенного интеграла.

2.1. Несобственный интеграл по [a,b)

Пусть функция f определена на промежутке [a,b), ограниченном или неограниченном ( т.е. возможен случай b = +∞), и интегрируема на сегменте [a, t] при всяком t, a < t < b. Заметим, что такая функция не обязательно интегрируема на всём [a,b), даже если [a,b) – ограниченный промежуток.

ция непрерывна, а потому и интегрируема на [0, t] (см. следствие теоремы 1, п.1.6). Однако, на [0,1) она неинтегрируема, так как не ограничена на нём.

Рассмотрим интеграл с переменным верхним пределом: F (t) = ∫аt f (x)dx .

Функция F определена для всякого t, a < t < b; следовательно, можно говорить о её пределе при t→ b-0 (если b = + ∞, то b-0 = +∞). Отметим случай, когда указанный предел заведомо существует, т.е. равен некоторому числу: если [a,b) ограничен, а f интегрируема на нём, то по теореме о непрерывности определенного интеграла с переменным верхним пределом (п. 1.11) F не-

прерывна на [a,b]; в частности, она непрерывна в точке b слева, т.е. lim F (t) =

t→b−0

=F (b) = ∫аb f (x)dx . Если же промежуток [a,b) неограничен (b = + ∞), а также

если f не является интегрируемой функцией на ограниченном [a,b), то указанный предел может не существовать.

Пример 2. Пусть f (x) = cos x , x [0,+∞) . При каждом t > 0

Пример 3. Пусть f (x) = 1 −1 х , x [0,1) . Эта функция нитегрируема на любом сегменте [0, t] , 0 < t <1, и неинтегрируема на [0,1) по тем же причи-

lim F (t) =2 , т.е. предел существует.

t→1−0

Пусть функция f определена на промежутке [a,b), ограниченном или неограниченном, и интегрируема на сегменте [a, t] при всяком t, a < t < b. Тогда воэможны три случая:

1)промежуток [a,b) ограничен, а функция f интегрируема на нём;

2)промежуток [a,b) ограничен, а функция f не интегрируема на нём;

3)промежуток [a,b) не ограничен: b = + ∞.

23

Пусть имеет место случай 2). Тогда точку b назовем особой точкой

функции f . В частности, b будет особой точкой функции f, если lim f (x) =

x→b−0

= ∞. В случае 2) предел lim F (t) существует не всегда , см. примеры выше.

t→b−0

Определение 1. Если существует предел lim F (t) , то это число называ-

t→b−0

ют несобственным интегралом (или несобственным определенным интегралом) от функции f по промежутку [a,b).

Несобственный интеграл от функции f по промежутку [a,b) обозначают символом ∫аb f (x)dx . Таким образом,

если этот предел существует (т. е. равен некоторому числу).

Замечание 1. Символ ∫аb f (x)dx , введенный ранее для обозначения опре-

деленного интеграла, использован здесь для обозначения нового понятия – несобственного интеграла. Чтобы в конкретном случае разобраться, какой из

интегралов обозначен через ∫аb f (x)dx , следует присмотреться к подынтегра-

льной функции: если она интегрируема на [a,b), интеграл определенный; если же b является особой точкой подынтегральной функции ( например, если

lim f (x) = ∞) – интеграл несобственный.

x→b−0

Рассмотрим случай 3) : b = + ∞.

Определение 2. Если существует предел lim F (t) , то это число называ-

t→+∞

ют несобственным интегралом (или несобственным определенным интегралом ) от функции f по промежутку [a, + ∞).

Несобственный интеграл от функции f по промежутку [a, + ∞) обозначают символом ∫а+∞ f (x)dx . Таким образом,

если этот предел существует.

24

Итак, пусть функция f определена на промежутке [a,b), ограниченном или неограниченном, и интегрируема на сегменте [a, t] при всяком t, a < t < < b. Тогда

(b-0 = +∞ при b = + ∞), если предел существует, т.е. равен некоторому числу, причем в случае 1) ∫аb f (x)dx есть определенный интеграл, а само равенство

(12) вытекает из свойств определенного интеграла с переменным верхним пределом; в случаях 2) и 3) равенство (12) представляет собой определение нового понятия – несобственного интеграла.

Введем в употребление ряд терминов.

Если в случаях 2) и 3) существует предел tlim→b−0 ∫at f (x) dx , то говорят, что

несобственный интеграл ∫аb f (x)dx сходится, а подынтегральную функцию f называют при этом интегрируемой в несобственном смысле на промежутке [a,b). Если же tlim→b−0 ∫at f (x) dx не существует (в частности, равен ∞), говорят, что

несобственный интеграл ∫аb f (x)dx расходится.

Мы будем говорить, что интеграл ∫аb f (x)dx существует, если он является либо определенным интегралом, либо сходящимся несобственным. Отметим, что интеграл ∫аb f (x)dx существует тогда и только тогда, когда существу-

Свойства сходящихся несобственных интегралаов аналогичны свойст – вам определенных интегралов. Ниже в этом пункте все функции определены на промежутке [a,b), ограниченном или неограниченном, и интегрируемы на сегменте [a, t] при всяком t, a < t < b.

25

вует и равен λ ∫аt f (x)dx ; значит, ∫аb λ f (x)dx существует, причем ∫аb λ f (x)dx = =λ ∫аb f (x)dx . ◄

2. Если существуют интегралы ∫аb f1 (x)dx и ∫аb f2 (x)dx , то существует и

ными интегралами ∫аt f (x)dx = ∫ас f (x)dx + ∫сt f (x)dx . Отсюда ясно, что если суще-

ствует один из пределовtlim→b−0 ∫аt f (x)dx и tlim→b−0 ∫сt f (x)dx , то существует и другой;

таким образом, утверждение *) справедливо. Перейдя в равенстве для определенных интегралов к пределу, докажем второе утверждение. ◄

4. Если существует ∫аb | f (x) | dx , то существует и ∫аb f (x)dx , причем

∫ab f (x) dx ≤ ∫аb | f (x) | dx .

► Так как |f(x)| = f + (x) + f − (x) на [a,b), то при всяком t, а < t < b,

справедливо равенство между определенными интегралами ∫аt | f (x) | dx =

∫аt f + (x) dx + ∫аt f − (x) dx . Заметим, что подынтегральные функции в этом равен-

стве неотрицательны, поэтому каждый из интегралов неотрицателен и представляет собой функцию от t , не убывающую на [a,b). Перейдем здесь к пре-

делу при t →b − 0 . По условию левая часть равенства имеет предел ∫аb | f (x) | dx .

Каждое слагаемое в правой части не превышает ∫аt | f (x) | dx . который, в свою очередь, не превышает ∫аb | f (x) | dx . В силу теоремы Вейерштрасса о монотон-

ных функциях ( [1], стр,66) существуют пределы tlim→b−0 ∫аt f + (x) dx = ∫аb f + (x) dx и tlim→b−0 ∫аt f − (x) dx = ∫аb f − (x) dx . Таким образом, в результате указанного предельного перехода получае равенство, которое требовалось доказать. ◄

26

5) Пусть функция f непрерывна на [a,b), а Ф – её первообразная на [a,b). Справедливы утверждения:

*) ∫аb f (x)dx существует тогда и только тогда, когда существует предел

► В силу формулы Ньютона – Лейбница при всяком t, a < t < b, имеем: ∫аt f (x)dx = Ф(t) - Ф(а). Чтобы доказать утверждения *) и **) достаточно перейти в этом равенстве к пределу при t → b −0 . ◄

►По формуле интегрирования по частям (п. 1.12 ) при всяком t, a <

<t < b, имеем: ∫at u(x) v′(x)dx = u(t) v(t) - u(а) v(а) - ∫at v(x)u′(x)dx . Для доказа-

тельства достаточно перейти здесь к пределу при t → b −0 . ◄

Замечание 2. Доказанную формулу обычно записывают в следующем

значит, ∫a+∞u(x) v′(x)dx = ∫0+∞ xe−x dx сходится, и

∫0+∞ x e−x dx = x(−e−x ) 0+∞ − ∫0+∞ (−e−x ) dx = 1.

27

2.2. Несобственный интеграл по ( a,b]

Пусть функция f определена на (a,b], ограниченном или неограниченном ( т.е. возможен случай a= - ∞), и интегрируема на сегменте [ t,b] при всяком t, a < t < b. Заметим, что такая функция не обязательно интегрируема на (a,b], даже если (a,b] – ограниченный промежуток. Могут представиться следующие три случая:

1)промежуток (a,b] ограничен, а функция f интегрируема на нём;

2)промежуток (a,b] ограничен, а функция f не интегрируема на нём;

3)промежуток (a,b] неограничен: а = - ∞.

Рассмотрим определённый интеграл с переменным нижним пределом,

Пусть имеет место случай 2). Тогда будем говорить, что а является осо-

бой точкой функции f . В частности, а будет особой точкой, если lim f (x) =∞ .

х→а+0

ют несобственным интегралом (или несобственным определенным интегра-

если этот предел существует (т. е. равен некоторому числу).

Пусть имеет место случай 3). Предел lim G(t) существует не всегда.

t→−∞

Определение 2. Если существует предел lim G(t) , то это число называ-

t→−∞

ют несобственным интегралом (или несобственным определенным интегралом) от функции f по промежутку (- ∞,b].

Несобственный интеграл от функции f по промежутку (- ∞,b] обозначают символом ∫−b∞ f (x)dx . Таким образом, в случае 3)

если этот предел существует.

Итак, пусть функция f определена на (a,b], ограниченном или неогра - ниченном , и интегрируема на сегменте [ t,b] при всяком t, a < t < b. Тогда

(а+ 0 = - ∞ при а = - ∞ ), если этот предел существует, причем в случае 1) слева в равенстве (13) стоит определенный интеграл, а само оно вытекает из непрерывности определенного интеграла с переменным нижним пределом; в

28

случаях 2) и 3) равенство (13) представляет собой определение нового поняти – несобственного интеграла по (a,b].

Если в случаях 2) и 3) предел t→limа+0 ∫tb f (x)dx существует, то говорят, что

несобственный интеграл ∫аb f (x)dx сходится; подынтегральную функцию f называют при этом интегрируемой в несобственном смысле на промежутке (a,b]. Если же t→limа+0 ∫tb f (x)dx не существует (в частности, равен ∞ ), то гово-

рят, что несобственный интеграл ∫аb f (x)dx расходится.

Мы будем говорить, что интеграл ∫аb f (x)dx существует, если он является либо определенным интегралом, либо сходящимся несобственным. Ин - теграл ∫аb f (x)dx существует тогда и только тогда, когда существует предел

t→limа+0 ∫tb f (x)dx , причем ∫аb f (x)dx = t→limа+0 ∫tb f (x)dx .

Свойства сходящихся несобственных интегралов по (a,b] аналогичны свойствам интегралов по [a,b); аналогичны и их доказательства: записав равенство для определенных интегралов по [ t,b], переходим к пределу при

t→a+0

1.Пусть λ – некоторое число, а интеграл ∫аb f (x)dx существует. Тогда

∫ab f (x) dx ≤ ∫аb | f (x) | dx .

5) Пусть функция f непрерывна на (a,b], а Ф – её первообразная на (a,b] . Справедливы утверждения:

29

6. Пусть функции u(x) и v(x) непрерывно дифференцируемы на (a,b].

Компактная запись последней формулы выглядит так:

Пример 10. Вычислить ∫01 dxх . Точка а = 0 является особой для подынтегральной функции, значит, интеграл несобственный. Первообразная для функции f(х)= х1 на (0,1) есть Ф(х) = lnx. Так как Ф (+ 0)= -∞, интеграл расходится.

Пример 11. Вычислить ∫01 dxx . Интеграл несобственный по той же при-

чине, что в предыдущем примере. Функция Ф(х) = 2 х является первообразной для подынтегральной функции на (0,1), Ф(+0) =0, следоватльно, интеграл сходится, и ∫01 dxx = Ф(1) - Ф(+0) = 2.

Пример 12. Вычислить ∫−0∞xe−x dx . Положим u =x , v =−e−x . Имеем:

не сможем непосредственно использовать выведенную выше формулу интегрирования по частям для несобственных интегралов. Обратимся к формуле интегрирования по частям для определенных интегралов по [ t,0]; при всяком t, t < 0, имеем:

∫t0 u(x) v′(x)dx = u(0) v(0) - u(t) v(t) - ∫t0 v(x)u′(x)dx ,

2.3. Несобственный интеграл по ( a,b)

Лемма. Пусть функция f определена на некотором интервале ( a,b), a < b, ограниченном или неограниченном, и интегрируема на всяком сегмен-

те, содержащемся в ( a,b). Пусть, далее, с и d – любые два числа, принадлежа-

30

щие ( a,b). Если существуют ∫ас f (x)dx и ∫сb f (x)dx , то существуют ∫аd f (x)dx и

∫db f (x)dx , причем ∫ас f (x)dx + ∫сb f (x)dx = ∫аd f (x)dx + ∫db f (x)dx .

► Пусть для определенности с < d. По условию ∫сb f (x)dx существует, т.е. является либо определенным интегралом, либо сходящимся несобственным. По свойству 3, п.2.1, тогда существует ∫db f (x)dx и справедливо равенство ∫сb f (x)dx = ∫сd f (x)dx + ∫db f (x)dx . По условию ∫ас f (x)dx существует; в силу свойства 3, п.2.2, тогда существует ∫аd f (x)dx , причем ∫аd f (x)dx = ∫ас f (x)dx +

+ ∫сd f (x)dx . Из этих двух равенств легко получим:

∫ас f (x)dx + ∫сb f (x)dx = ∫аd f (x)dx + ∫db f (x)dx . ◄

Пусть функция f определена на некотором интервале (a,b), a < b, ограниченном или неограниченном (т.е. для а допускается значение - ∞, а для b - значение + ∞), и интегрируема на любом сегменте, содержащемся в (a,b). Этому требованию удовлетворяет, например, всякая функция, непрерывная на ( a,b) , см. следствие теоремы 1, п. 1.6.

Выберем некоторое с, a < с< b. Функция f интегрируема на сегменте [с, t] при всяком t, с < t < b; следовательно (см. п.2.1), ∫сb f (x)dx является либо

определенным интегралом (если f интегрируема на [с ,b) ), либо несобственным интегралом(если b – особая точка функции f или если b = =+∞). Функция f интегрируема на сегменте [t, с] при всяком t, а < t < с; значит (см. п.2.

2), ∫ас f (x)dx является либо определенным интегралом ( если f интегрируема

на (а,с] ), либо несобственным интегралом ( если а- особая точка функции f или если а =-∞).

Пусть интервал (a,b) ограничен. Если оба интеграла ∫ас f (x)dx и ∫сb f (x)dx определенные, т.е. если f интегрируема на (а,с] и на [с ,b), то по свойству 4, п.1.6, она интегрируема на (a,b). Если же хотя бы один из ∫ас f (x)dx и ∫сb f (x)dx

является несобственным интегралом, т.е. если хотя бы одна из точек а и b является особой для функции f ,то f не может быть интегрируемой на (а ,b).

Таким образом, могут представиться следующие три случая:

1)интервал ( a,b) ограничен, а функция f интегрируема на нём;

2)интервал ( a,b) ограничен, а функция f не интегрируема на нём

3)интервал ( a,b) неограничен.

Вслучае 1) в силу свойства 5, п.1.8, имеем равенство между определенными интегралами

∫аb f (x)dx = ∫ас f (x)dx + ∫сb f (x)dx .

В случаях 2) и 3) хотя бы один из интегралов ∫ас f (x)dx и ∫сb f (x)dx является несобственным, сходящимся или расходящимся. Пусть оба они существуют,

31

т.е. либо один из них - определенный, а другой - сходящийся несобственный, либо оба они – сходящиеся несобственные интегралы. Заметим,что в силу

леммы сумма ∫ас f (x)dx + ∫сb f (x)dx не зависит от выбора с, a < с< b. Для случаев 2) и 3) сформулируем следующее определение.

Определение. Если оба интеграла ∫ас f (x)dx и ∫сb f (x)dx существуют, то

их сумму называют несобственным интегралом (или несобственным определенным интегралом) от функции f по интегрвалу ( a,b) .

где с – какаянибудь точка интервала (a,b), а оба интеграла в правой части (14) существуют, причем хотя бы один из них несобственный. Если эти усло-

вия выполнены, мы будем говорить, что несобственный интеграл ∫аb f (x)dx сходится, а функция f интегрируема в несобственном смысле на (a,b). . Если же хотя бы один из интегралов ∫ас f (x)dx и∫сb f (x)dx расходится , будем гово-

рить, что интеграл ∫аb f (x)dx расходится.

Пример 13. Интеграл∫−+∞∞ xe−x dx расходится, так как ∫−+∞∞ xe−x dx сходится

( пример 9), а ∫−0∞xe−x dx - расходится ( пример 12).

Итак, пусть функция f определена на некотором интервале (a,b), a < b, ограниченном или неограниченном, и интегрируема на любом сегменте, со-

причем в случае 1) все интегралы здесь определенные, а равенство вытекает из свойств таких интегралов; в случаях 2) и 3) символ ∫аb f (x)dx есть обозна-

чение несобственного интеграла по интервалу (a,b), а равенство (15) представляет собой определение этого понятия. Как и выше термин “интеграл

∫аb f (x)dx существует” означает, что ∫аb f (x)dx есть либо определенный интег-

рал, либо сходящийся несобственный.

Свойства сходящихся несобственных интегралов по интервалу анало - гичны свойствам несобственных интегралов по полуоткрытым промежуткам, изложенным в п.п. 2.1 и 2.2, и легко выводятся из них и равенства (15).

1. Пусть λ – некоторое число, а интеграл ∫аb f (x)dx существует. Тогда существует и интеграл ∫аb λ f (x)dx , причем ∫аb λ f (x)dx = λ ∫аb f (x)dx .

32