Рыжаков И.Ю. Определенный интеграл

ности { τk} ∞k =1 дроблений этого промежутка последовательности интеграль-

ных сумм { S( f ,τk ) },{ S( f ,τk ) } и { S( f ,τk ) } сходятся к I. Число I называют

определенным интегралом от функции f по промежутку a,b и обозначают

символом ∫b f (x)dx .

a

В символе ∫b f (x)dx функцию f называют подынтегральной функцией,

a

х - переменной интегрирования, a и b - нижним и верхним пределами интегрирования соответственно. Определенный интеграл от функции f по проме-

где { τk} ∞k =1 - любая нормальная последовательность дроблений промежутка a,b .

Пример 1. Пусть функция f тождественно на промежутке a,b равна константе: f(х) ≡ С, С R . Тогда ∫b f (x)dx = С(b-a).

a

► Функция f(х) ≡ С непрерывна и ограничена на a,b и потому она интегрируема на этом промежутке (см. теорему 1,п.1.6). Пусть τ = {Х j }lj=1 -

Выше символ ∫b f (x)dx введен при условии, что нижний предел интег-

a

рирования a меньше верхнего предела интегрирования b. Из соображений удобства в оперировании этим символом определим его значение для случаев, когда нижний предел интгрирования больше или равен верхнему пре-

ция f определена в точке a, положим по определению ∫а f (x)dx = 0.

a

13

1.8. Свойства определенного интеграла, выражаемые равенствами

В этом пункте считаем a < b, а функции f и g интегрируемыми на

a,b .

j =1,2,..., l.. Обозначим: h(x) = f(x)+g(x). В силу свойства 1, п.1.6., h – интегри-

Таким образом, при любом дроблении τ S (h, τ) = S (f, τ) + S (g, τ).

Пусть {τk} ∞k =1 - произвольная нормальная последовательность дроблений a,b . При всяком натуральном k имеем: S (h, τ k) = S (f, τ k) + S (g, τ k).

Перейдя в этом равенстве к пределу, получим равенство для интегралов, которое требовалось доказать. ◄

► Пусть τ = {Х j }lj=1 - некоторое дробление промежутка a,b , а ξ j X j ,

j =1,2,..., l.. Обозначим: h(x) =С f(x). В силу свойства 2, п.1.6., h – интегрируе-

Пусть {τk} ∞k =1 - произвольная нормальная последовательность дроблений a,b . При всяком натуральном k имеем: S (h, τ k) = С S (f, τk). Перейдя в этом равенстве к пределу, получим равенство для интегралов. ◄

► Для любой нормальной последовательности {τk} ∞k =1 дроблений промежут-

14

Почленно вычитая из первого равенства второе, получим:

По свойству 3. разность интегралов в левой части этого равенства равна

Таким образом, получено равенство, которое требовалось доказать. ◄ Замечание. Равенства этого пункта доказаны в предположении a < b и

a < с < b. Однако, опираясь на определения п. 1.7 нетрудно убедится, что они остаются справедливыми при a ≥ b и при любых вариантах расположения точек a , с и b на числовой оси .

1.9. Свойства определенного интеграла, выражаемые неравенствами

В этом пункте функции f и g интегрируемы на промежутке a,b , a ≤ b.

15

1.10. Теоремы о среднем для определенного интеграла

Теорема 1. Пусть функции f и g интегрируемы на a,b , причем g не меняет на a,b знак. Обозначим через m и M точные грани функции f

16

Это равенство является частным случаем доказанного выше, когда в качстве g выступает функция, тождественно на a,b равная единице.

17

Теорема 2. Пусть функция f непрерывна на сегменте [a,b] , a < b, а g интегрируема на [a,b] и не меняет на нём знак. Существует ξ [a,b] та-

► Так как f непрерывна на сегменте [a,b] , она интегрируема на нем , см. следствие теоремы 1, п.1.6. Значит, функции f и g удовлетворяют требованиям теоремы 1, и в силу этой теоремы найдется µ [m, M ] такое, что

ласно второй теореме Вейерштрасса ([1] , стр. 61) на [a,b] найдутся точки х* и x* , в которых функция f достигает своих точных граней: f( х* ) = m, f( x* ) = M. Так как µ [m, M ] , по теореме Коши о промежуточном значении ([1] , стр. 63)

Это равенство является частным случаем доказанного выше, когда в качстве g выступает функция, тождественно на a,b равная единице.

1.11. Определенный интеграл с переменным верхним пределом

Пусть a,b , a < b, - некоторый ограниченный промежуток , f - функция, интегрируемая на a,b , с – точка, произвольно выбранная на a,b . На

сегменте [a,b] определим функцию F : для всякого х [a,b] F (x) = ∫cx f (t)dt . Отметим, что в точках a и b функция f может быть определена, но может быть и нет, однако F в этих точках всегда определена: F (a) = ∫ca f (t)dt , F (b) =

= ∫cb f (t)dt . Функцию F называют определенным интегралом с переменным

верхним пределом.

Теорема 1. (О непрерывности определенного интеграла с переменным верхним пределом) Если функция f интегрируема на a,b , то F (x) = ∫cx f (t)dt

непрерывна на [a,b] .

► Пусть х0 - некоторая точка сегмента [a,b] , а h удовлетворяет условию х0 + h [a,b]. Имеем:

∆F (h) = F (x0 + h) − F (x0 ) = ∫cx0 +h f (t)dt − ∫cx0 f (t)dt = ∫xx00 +h f (t)dt

( здесь возможно как х0 ≤ х0 + h, так и х0 > х0 + h). Функция f интегрируема

18

и, следовательно, ограничена на a,b ,т.е. существует М > 0 такое,что при

всех х a,b |f(x)| ≤ M. Отсюда: | ∆F (h) | =| ∫xx00 +h f (t)dt | ≤ M | h | , из чего следует: ∆F (h) → 0 при h → 0 . В силу теоремы о приращении непрерывной функции

([1] , стр. 55) F непрерывна в точке х0. Теорема доказана, так как х0 – произвольная точка сегмента [a,b] . ◄

Теорема 2. (О дифференцируемости определенного интеграла с пере-

менным верхним пределом) Если функция f непрерывна на сегменте [a,b], то

принадлежащего интервалу (a,b); кроме того, F+′(а) = f (а) и F−′(b) = f (b) .

► Пусть х0 - некоторая точка интервала (a,b), а h ≠ 0 и удовлетворяет условию х0 + h a,b . Имеем (см. доказательство теоремы 1): ∆F (h) =

=∫xx00 +h f (t)dt . По теореме о среднем (следствие теоремы 2, п. 1.10) ∆F (h) =

=∫xx00 +h f (t)dt = f(ξ ) h, где ξ – некоторая точка, лежащая между х0 и х0 + h.

и равна f(а). Аналогично покажем, что F−′(b) существует и равна f(b). ◄ Следствие. Пусть a,b , a < b, - некоторый промежуток, ограниченный

или неограниченный, а функция f непрерывна на нем. Тогда на a,b сущест-

вует первообразная функции f .

► Выберем некоторую точку с a,b . Заметим, что при всяком х, принадлежащем a,b , функция f непрерывна на сегменте, концами которого являются точки х и с. Следовательно, f интегрируема на таком сегменте. Положим F (x) = ∫cx f (t)dt . Это равенство определяет функцию F в каждой точке промежутка a,b . Покажем, что F является первообразной для f на a,b .

Пусть х0 некоторая точка интервала (a,b). Выберем х1 и х2 на этом интервале так, чтобы х0 и с оказались внутренними точками сегмента [х1 , х2].

Пусть а принадлежит a,b . Применив теорему 2 к сегменту [a,c], получим: F+′(а) = f (а) . Аналогично докажем: если b принадлежит a,b , то F−′(b) = = f (b) . ◄

19

Пусть a,b , a < b, - некоторый ограниченный промежуток, функция f интегрируема на a,b , с – точка, произвольно выбранная на a,b . На сегмен-

те [a,b] определим функцию G : для всякого х [a,b] G(x) = ∫xc f (t)dt . Функцию

G назовем определенным интегралом с переменным нижним пределом. Свой-

ства этой функции вытекают из равенства ∫xc f (t)dt =− ∫cx f (t)dt и доказанных выше теорем : если f интегрируема на a,b , то G непрерывна на сегменте [a,b] ; если f непрерывна на a,b , то G дифференцируема на a,b , причем на интервале (a,b) G′(x) = − f (x) , а в точках a и b, если они принадлежат a,b ,

G+′(а) = - f(а) и G−′(b) = - f(b).

1.12. Способы вычисления определенных интегралов

Теорема 1. (Теорема Ньютона-Лейбница) Пусть функция f непрерыв-

на на сегменте [a,b] , a < b, а Ф –первообразная этой функции на [a,b] . Тогда

∫b f (x)dx = Ф(b) - Ф(a).

a

► В силу теоремы 2 предыдущего пункта F (x) = ∫аx f (t)dt является

и Ф(х) являются первообразными для f , поэтому их разность тождественно на [a,b] равна константе: F (x) - Ф(х)≡С. Подставив сюда х = а, получим: С= = - Ф(а). Таким образом, на [a,b] F (x) = Ф(х)- Ф(а). Подставим сюда х = b: F (b) = Ф(b) - Ф(a). Это и есть доказываемое равенство. ◄

Ньютона-Лейбница. Её часто записывают в следующей компактном виде:

b

∫ f (x)dx = Ф(х) ba .

a

Пример1. Вычислить ∫0π 2 sin xdx .

► Ф(х)= - cosx является первообразной для f(х) =sinx на [0,π 2]; значит,

Функцию называют непрерывно дифференцируемой на промежутке, если её производная непрерывна на этом промежутке. Очевидно, функция, непрерывно дифференцируемая на промежутке, непрерывна на нем.

Пусть функция φ непрерывно дифференцируема на сегменте [α,β] , α<β. Множество её значений также представляет собой некоторый сегмент ([1], стр.64); обозначим его через [a,b] . По второй теореме Вейерштрасса ([1],

20

стр. 61) на [α,β] существуют точки u и u , в которых φ достигает своих

Теорема 2. (О замене переменной под знаком определенного интегра-

ла) Пусть сегмент [a,b] есть множество значений функция φ, непрерывно дифференцируемой на сегменте [α,β] , α<β, а u и u - точки на [α,β] такие, что φ(u )= a , φ(u )= b. Если функция f непрерывна на [a,b] , то

► Применить сразу формулу Ньютона – Лейбница здесь не удается, так как первообразная подынтегральной функции неизвестна. Положим в

этом интеграле х = φ(u)=cosu, где u [0,π 2] . Множество значений φ( u) на

рывна на [0,1] . По теореме 2 (см. замечание 2)

21

Теорема 3. (Формула интегрирования по частям) Пусть функции u(x)

и v(x) непрерывно дифференцируемы на [a,b] , a < b. Тогда

∫ab u(x) v′(x) dx = u(b) v(b) − u (a) v (a) − ∫ab v (x) u′(x) dx.

► Зададим на [a,b] функцию Ф равенством Ф(х) = u(x) v(x). Имеем: Ф′(х) = u(x) v′(x) + u′(x) v(x). По формуле НьютонаЛейбница

Отсюда легко вытекает равенство, которое требуется доказать. ◄ Доказанное равенство называют формулой интегрирования по частям и

обычно записывают в следующем компактном виде:

Определенный интеграл представляет собой удобный математический аппарат, позволяющий находить решения многих задач. Сфера его применения весьма широка, однако, ограничения всё же существуют. Прежде всего, промежуток, по которому берется интеграл, должен быть ограниченным.

Кроме того, подынтегральная функция должна быть интегрируемой на этом промежутке, что означает, в частности, её ограниченность. Между тем, имеется большое количество задач, в том числе и представляющих прикладной интерес, в условиях которых эти ограничения нарушаются. В таких случаях решение часто удается получить с помощью несобственных определенных

22