Односторонние производные.

1) Пусть функция y=f(x) определена в точке х₀ и некоторой правосторонней окрестности этой точки u₊(x₀).

Если существует конечный или бесконечный (определенного знака) предел

,

то этот предел называется соответственно конечной или бесконечной правосторонней производной функции f(x) в точке х₀ и обозначается .

2) Пусть функция y=f(x) определена в точке х₀ и некоторой левосторонней окрестности этой точки u_-(x₀).

Если существует конечный или бесконечный (определенного знака) предел

,

то этот предел называется соответственно конечной или бесконечной левосторонней производной функции f(x) в точке х₀ и обозначается .

Об односторонних производных функции y=f(x) в точке х₀ можно говорить и в случае, когда эта функция определена в точке х₀ и в некоторой окрестности u(x₀) точки х₀ (т.е. f(x) определена одновременно и в u₊(x₀), и в u_-(x₀)).

Для функции y=f(x), определенной в u(x₀), справедливо следующее утверждение:

Для того, чтобы у функции f(x) в точке х₀ существовала обычная (т.е. двусторонняя) производная, необходимо и достаточно, чтобы в точке х₀ существовали одновременно и, причем=(=).

В случае, если у функции y=f(x) в точке х₀ существуют одновременно и, но≠, то обычной производной у функцииy=f(x) в точке х₀ нет.

Пример. f(x)=х, х₀=0.

у=f(x₀+x)-f(x₀)=f(0+x)-f(0)=0+x-0=x

Если x>0, то у=x, следовательно .

Если x<0, то у=-x, следовательно .

≠, значит обычной производной у функции f(x)=х в точке 0 нет.

Дифференцируемые функции.

Пусть функция y=f(x) определена в некотором промежутке Х и точка х₀Х. Дадим значению аргумента х₀ приращение Δх такое, что Δх≠0 и х₀+ΔхХ.

Пусть Δу=f(х₀+Δх)-f(х₀) – приращение функции.

Определение. Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке х₀, если приращение Δу этой функции в точке х₀ может быть представлено в виде

Δу=Ах+х (1)

Где А – некоторое число, не зависящее от Δх, а  - функция аргумента Δх такая, что (Δх)→0 при Δх→0 (т.е. б.м. при Δх→0).

В точке Δх=0 функция (Δх) может принимать любое значение. Для определенности можно, например, положить (0)=0.

Пример. f(x)=х².

f(х₀+Δх)-f(х₀)=(х₀+Δх)²-х₀²=2х₀х+(х)²

А=2х₀, (Δх)=(х)²→0 при Δх→0

d(f(x₀))=2x₀.

Теорема. Для того, чтобы функция y=f(x) была дифференцируемой в точке х₀, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Доказательство. Необходимость. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке х₀. Докажем, что существует конечная производная .

Т.к. y=f(x) дифференцируема в точке х₀, то приращение у этой функции в точке х₀, соответствующее приращению аргумента х, можно представить в виде:

Δу=Ах+х, где (Δх)→0 при Δх→0. Предположим, что х≠0 и разделим обе части равенства на х: =А+(х)

Переходя к пределу при Δх→0, находим =А.

А это и означает, что существует конечная , причем=А.

Достаточность. Пусть функция y=f(x) имеет в точке х₀ конечную производную. Покажем, что f(x) дифференцируема в точке х₀.

Т.к. существует конечная =, то разность-- бесконечно малая функция при Δх→0.

Положим -=(х), то =0. Следовательно,=+(х), откуда Δу=х+(х)х, причем (х)→0 при х→0.

Полученное выражение для Δу совпадает с представлением Δу=Ах+х, если обозначить через А не зависящее от х число . Т.о. доказали, что функция у=f(x) дифференцируема в точке х₀. ч.т.д.

Замечание. Из теоремы следует, что дифференцируемость функции у=f(x) в точке х₀ равносильна существованию в этой точке конечной производной .

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.

Теорема. Если функция у=f(x) дифференцируема в некоторой точке х₀, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Пусть у=f(x) дифференцируема в точке х₀, тогда ее приращение в этой точке представимо в виде: Δу=Ах+(Δх)х,

Где А – некоторое число, не зависящее от Δх, а  - функция аргумента Δх такая, что (Δх)→0 при Δх→0 (т.е. б.м. при Δх→0).

Следовательно, =0+0=0.

Т.е. бесконечно малому приращению аргумента отвечает бесконечно малое приращение функции. А это означает, что функция у=f(x) непрерывна в точке х₀.(по эквивалентному определению непрерывности). Ч.т.д.

Замечание. Обратное утверждение неверно. Так, например, функция у=является непрерывной в точке х=0, но не дифференцируема в этой точке, т.к. при

при x>0 f(x)=x, =1,

при x<0 f(x)=-x, =-1.

График. Показать, что нет касательной в т х=0.