Решение_вар51

Вариант 51. Теория вероятностей

Задача 1. В урне лежат 6 белых и 7 черных шаров. Наугад один за другим вынимают 2 шара (без возвращения). Какова вероятность того, что оба вынутые шара – белые?

Решение. Введем событие = (Оба вынутые шара - белые). Используем классическое определение вероятности: , где – число исходов, благоприятствующих осуществлению события , а n – число всех элементарных равновозможных исходов.

- число различных способов выбрать 2 шара из имеющихся в урне 13 шаров.

- число различных способов выбрать 2 белых шара (из 6 белых шаров).

Вероятность

Ответ: 0,192.

Задача 2. Какова вероятность того, что при одном бросании игральной кости выпадет нечетное число очков или число очков не больше 4?

Решение. Используем классическое определение вероятностей: , где – число всех равновозможных элементарных исходов, – число элементарных исходов, благоприятствующих осуществлению события.

- число различных выпадений кости (очков).

Перечислим благоприятные комбинации (нечетное число очков или число очков не больше 4): 1, 2, 3, 4, 5, поэтому

Получаем вероятность:

Ответ: 0,833.

Задача 3. В первой урне 4 черных и 3 белых шара, во второй – 6 черных и 3 белых. Из одной из урн наугад достали шар. Найдите вероятность того, что этот шар – белый.

Решение. Введем полную группу гипотез:

= (Выбрана первая урна),

= (Выбрана вторая урна).

Найдем вероятности гипотез по условию: .

Введем событие = (Из урны вынут белый шар). Условные вероятности вычислим по формуле классической вероятности (отношение числа белых шаров к общему числу шаров в урне):

, .

Вероятность события найдем по формуле полной вероятности:

Ответ: 0,381.

Задача 4. Монетку бросают 6 раз. Найдите вероятность того, что ровно 3 раза выпадет «орел».

Решение. Имеем схему Бернулли с параметрами (количество бросков монеты), (вероятность того, что выпадет «орел»), .

Будем применять формулу Бернулли: - вероятность того, что из монет «орлом» вверх выпали ровно .

Вероятность того, что ровно 3 раза выпадет «орел», равна:

.

Ответ: 0,3125.

Задача 5. Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,02. Поступило 200 вызовов. Определите вероятность «5 сбоев».

Решение. Имеем схему Бернулли с параметрами , . Так как достаточно велико, а вероятность мала, можно использовать для приближенного вычисления формулу Пуассона:

- вероятность того, что из вызовов будет ровно «сбоев».

Обозначим , получим формулу .

Тогда вероятность того, что будет ровно 5 сбоев, равна

Ответ: 0,156.

Задача 6. Два стрелка поражают цель с вероятностями 0,6 и 0,3 соответственно. Первый стрелок сделал 1, а второй – 2 выстрела. Определите вероятность не менее двух попаданий в цель.

Решение. Введем независимые события

= (Первый стрелок попал в цель),

= (Второй стрелок попал в цель),

в условии даны вероятности , .

Введем событие = (Будет не менее двух попаданий в цель). Событие произойдет если

или первый стрелок поразит цель, и второй поразит цель один раз,

или второй стрелок поразит цель два раза, а первый нет,

или второй стрелок поразит цель два раза, и первый тоже,

то есть . По теоремам сложения и умножения вероятностей получим

Ответ: 0,342.

Задача 7. Дан закон распределения случайной величины:

Найдите , предварительно определив , а также и .

Решение. Найдем из условия, что сумма вероятностей должна быть равна 1: .

Найдем математическое ожидание: .

Найдем дисперсию

Расчеты в таблице ниже:

	100	102	110	114	118	Сумма
	0,2	0,1	0,15	0,35	0,2	1
	20	10,2	16,5	39,9	23,6	110,2
	2000	1040,4	1815	4548,6	2784,8	12189

Построим график функции распределения:

Задача 8. Случайные величины и независимы и распределены по нормальному закону с плотностями , . Найдите .

Решение. По виду плотности распределения (сравнивая с каноническим видом ), определяем, что параметр , то есть .

По виду плотности распределения (сравнивая с каноническим видом ), определяем, что параметр , то есть .

Тогда

Ответ: -325.

Задача 9. Случайные величины и независимы и распределены по нормальному закону с плотностями , . Найдите .

Решение.

По виду плотности распределения (сравнивая с каноническим видом ), определяем, что параметр , то есть .

По виду плотности распределения (сравнивая с каноническим видом ), определяем, что параметр , то есть .

Тогда

Ответ: 156.

Задача 10. При каком значении функция

будет функцией распределения некоторой непрерывной случайной величины ?

Построить графики и .

Решение. По определению, должны выполняться равенства: . Подставляем и получаем:

Значение .

Ответ: .

Задача 11. Пусть функция распределения случайной величины

Найдите вероятность попадания значения случайной величины в интервал .

Найти .

Решение. По определению, вероятность попадания значения случайной величины в интервал можно найти как приращение функции распределения на этом интервале:

Найдем плотность распределения как производную от функции распределения:

Ответ: 0,9375.

Задача 12. Пусть функция распределения случайной величины

Найдите плотность распределения вероятностей случайной величины Х. В ответе укажите значение при .

Решение. По определению, плотность можно найти как производную от функции распределения:

Тогда .

Ответ: .

ЛИТЕРАТУРА

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей.М.: Наука, 1969.576 с.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.М.: Высшая школа, 2001.479 с.

3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.М.: Высшая школа, 2001.400 с.

9