26

Работа n 71.1. Кольца ньютона

Прежде чем приступить к работе, необходимо ознакомиться с введением по теме «Интерференция и дифракция».

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: измерить длины волн излучения ртутной лампы и радиус кривизны линзы из анализа интерференционной картины в виде колец Ньютона.

Постановка задачи

Явление интерференции можно наблюдать при освещении тонких прозрачных пленок, когда разделение световой волны на два когерентных пучка происходит вследствие отражения света от двух поверхностей пленки. В результате такого отражения возникают когерентные световые волны, которые при наложении дают локализованные интерференционные картины. Место локализации зависит от формы пленок, условий наблюдения и освещения.

Пусть в точку О на прозрачную пластину падает пучок света (луч 1), часть света отразится от верхней поверхности пластины в точке О (луч 2), другая часть, преломившись в точке О, отразится от нижней поверхности (луч 3) (рис.1).

Пусть n1 и n2  показатели преломления среды и материала пластины соответственно, i  угол падения, r  угол преломления, d  толщина пластины. Определим оптическую разность хода  лучей 2 и 3:  = n2(OC+СB)  n1(OA). Из рисунка 1 видно, что: OC=OB=d/cosr, OA=OBsini, OB=2d tgr.
	Рис.1.

Учитывая, что n₂ /n₁ = sin i /sin r, можно получить:

При вычислении разности хода необходимо учесть, что при отражении световой волны от границ раздела сред, если n₂ >n₁, фаза колебаний изменяется на  (это соответствует разности хода лучей /2). В рассматриваемом случае если n₂ >n₁, то изменяет фазу луч 2; если n₂ < n₁, то фаза изменяется у луча 3 в точке C. С учетом этого выражение для разности хода лучей следует записать так

Таким образом, получается, что разность хода лучей 2 и 3 определяется толщиной пластины и углом падения (так как угол преломления определяется углом падения).

Результат интерференции зависит от значения . При  = m получаются максимумы, при =(2m +1)/2 - минимумы интенсивности (здесь m - целые числа).

При d=const (плоскопараллельная пластина) разность хода определяется только углом падения (рис.2). Для наблюдения интерференционной картины плоскопараллельную пластину освещают непараллельным пучком монохроматического света и параллельно ей располагают линзу, в фокальной плоскости которой находится экран.

	В отсутствии линзы интерференционная картина локализована в бесконечности, так как интерферируют параллельные между собой лучи. Лучи, падающие на пластину под одним и тем же углом, но в разных плоскостях, создают на экране совокупность точек с одинаковой освещенностью, которая, очевидно, будет иметь форму окружности.
Рис.2

Лучи, падающие под другим углом, создают на экране кольцо с другой освещенностью. Если для некоторого значения i выполняется условие  = m, на экране образуется светлое кольцо, если =(2m +1)/2  темное. Такая картина носит название «полосы равного наклона».

В случае, когда пластина имеет форму тонкого клина (d  const) и освещается параллельным пучком света(i = const) (рис.3) оптическая разность хода интерферирующих лучей (а значит, условие максимума и минимума освещенности) зависит от толщины пластины в том или ином ее месте. Интерференционная картина, наблюдаемая в этом случае, локализована над (или под) поверхностью клина и носит название полос равной толщины. Для правильного клина она представляет собой чередование светлых и темных полос параллельных ребру клина.

Локализация полос равной толщины зависит от угла падения i и от угла клина , при фиксированном  картина расположена тем ближе к поверхности, чем меньше угол падения, и для нормально падающего света (i =0) полосы равной толщины локализованы на поверхности клина.
	Рис.3

Классическим примером полос равной толщины являются кольца Ньютона. Они наблюдаются, когда выпуклая поверхность линзы малой кривизны соприкасается с плоской поверхностью хорошо отполированной пластины. При этом воздушная прослойка постепенно утолщается от центра к краям. Кольца Ньютона можно наблюдать как в отраженном, так и в проходящем свете (рис.4).

Рис.4

Пусть на линзу падает монохроматический параллельный пучок света по нормали к ее плоской поверхности. В результате сложения волн, отраженных от верхней и нижней границ воздушной прослойки, будет наблюдаться интерференционная картина. Так как для точек, равноудаленных от центра, толщина воздушной прослойки одинакова, то в результате наблюдается следующая картина: в центре расположено темное пятно, окруженное рядом светлых и темных концентрических колец убывающей толщины (рис.4,а). При наблюдении в проходящем свете интерференционная картина будет негативная, т.е. в центре будет светлое пятно (рис.4,б).

Определим диаметр колец Ньютона, наблюдаемых в отраженном свете. Учитывая, что при отражении на границе воздух-стекло происходит потеря полуволны /2, оптическая разность хода двух интерферирующих волн на расстоянии r_m от центра линзы равна = 2b_m + /2, где b_m  толщина воздушного клина в этом месте. Условие минимума интенсивности (темное кольцо) выполняется, если оптическая разность хода равна нечетному числу полуволн. Следовательно, условие образования m-го темного кольца:

2b_m + l/2=(2m + 1) l/2 или 2b_m = ml. (1)

	Величину bm можно вычислить из геометрических соотношений (рис.5). ОВ= ОА= R, где R - радиус кривизны линзы, тогда: R2 = rm2 + (R - bm)2 = rm2 + R2 - 2Rbm + bm2 .Ввиду малости bm величиной bm2 можно пренебречь.
Рис.5

С учетом этого приближения получаем

b_m = r_m²/2R (2)

Учитывая (1), имеем

r_m² = Rm или d_m² = 4 Rm , (3)

где d -диаметр m-го темного кольца.

Лабораторная установка для наблюдения колец Ньютона несколько отличается от рассмотренного классического варианта. Выпуклая линза лежит не на плоской пластине, а на вогнутой линзе большего радиуса R₁ .При этом толщина воздушного клина вычисляется на основании следующих выкладок. Пусть ОD = ОВ = R  радиус выпуклой линзы; О'D = О'В = R₁  радиус вогнутой линзы; b_m =DK-CK  толщина воздушного зазора (рис.6.).

Из рисунка видно, что

R₁² =r_m² +(R CK)² и R² =r_m² +(R DK)²,

тогда r_m² = 2R₁ CK и r_m² = 2RDK,

следовательно (4)

В этом случае условие образования темного кольца запишется в виде

m = r_m² (1/R  1/R₁ ). (5)

Пользуясь этим уравнением и измерив радиусы (или диаметры) соответствующих колец, можно, зная радиусы R и R1, определить длину волны . Если же известна длина волны и радиус кривизны одной из линз, то можно вычислить радиус кривизны второй линзы.
	Рис.6

Обработку результатов в этой работе рекомендуется проводить, используя метод наименьших квадратов (МНК). Для каждой длины волны измеряют диаметры нескольких колец. Уравнение (5) можно переписать в виде

или (6)

Видно, что квадрат диаметра кольца линейно зависит от его номера, тангенс угла наклона линейной зависимости d_m² = f(m) будет равен

tg = (7)

На практике очень трудно осуществить идеальное соприкосновение двух линз в одной точке и без деформации. Поэтому реально получаемая линейная зависимость d_m² = f(m) не будет проходить через начало координат, т.е. будет иметь вид не y =ax, а y = ax+c, и при расчетах следует пользоваться формулами для общего случая МНК.

Если tg₀ для известной длины волны ₀ определен, то для расчета неизвестного радиуса кривизны из формулы (7) получаем выражение (8)

Для расчета неизвестных длин волн пользуются выражением

(9)

ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ

Рис.7	Рис.8

Схема установки представлена рис.7. Две линзы в общей оправе - плосковыпуклая К с радиусом R и вогнутая К₁ с радиусом R₁ помещены на дно коробки с зачерненными стенками. Плоско параллельная пластина Р может вращаться относительно оси, перпендикулярной плоскости рисунка, ее устанавливают в таком положении, чтобы лучи, отражающиеся от нее, падали вертикально на систему линз.

Источником света S служит ртутно-кварцевая лампа ПРК-2, имеющая линейчатый спектр излучения. Проходя через линзу L, свет образует параллельный пучок. Набор светофильтров F дает возможность выделить монохроматический свет с фиксированными длинами волн, соответствующими линиям ртутного спектра. Такая система позволяет наблюдать кольца Ньютона, образующиеся при интерференции света, отраженного от нижней и верхней границ воздушной прослойки между линзами К и К_1. Для измерения диаметров колец (или хорд) служит измерительное устройство, снабженное двумя шкалами с нониусами (рис.8) и стрелкой-указателем, которую можно перемещать в двух взаимно перпендикулярных направлениях i и j с помощью винтов i и j .

Измерительное устройство позволяет фиксировать положение стрелки-указателя с точностью до 0,1 мм.