2. Базовые операции реляционной алгебры.

“Страх есть ожидание зла” ЗЕНОН из Элеи, ок.490-430гг. до н.э.

Реляционная алгебра оперирует с реляционными отношениями (почти как традиционная алгебра с числами), что позволяет нам записывать реляционные выражения. Имена реляционных отношений (связанные со своими схемами) при этом играют роль переменных. При подстановке конкретных экземпляров (значений) реляционных отношений и выполнения реляционного выражения мы получаем результат. Он всегда будет реляционным отношением и только одним.

Замечательное свойство реляционной алгебры – возможность описать данные как реляционное выражение. Более того, как и в традиционной алгебре, из исходного «выражения» можно получить следующие из него «истинные выражения» – результаты запросов. Таким образом реляционная алгебра естественным образом «стандартизирует» все этапы жизненного цикла данных в БД.

Внимательного читателя не должна обманывать простая форма представления данных в виде реляционного отношения как двухмерной таблицы. Мы убедились, что математическая трактовка её совсем не такая простая. Более того, даже поверхностный анализ требует методов и приводит нас к задачам, традиционных для оснований математики и математической логики: что такое истинность, как трактовать связи, как добиться непротиворечивости, что такое логический вывод. Основы реляционной модели данных, построенные на базе теории множеств, при последующем изучение её свойств, требуют привлечения всего многообразия доступных нам методов метаматематики. Вероятно, мы имеем дело с открытой системой – по мере изучения деталей реляционной модели данных, она усложняется и нет признаков, что мы получим её замыкание как формальной теории. Поэтому постепенно нарастает и количество «тонких вопросов», отражаемое в лавине литературы по теории реляционных баз данных.

1. Реляционные теоретико-множественные операции.

“Великие дела не делаются сразу” СОФОКЛ, 496-406гг. до н.э.

Заметим, что p(A)  q(A) = p(A) - (p(A) - s(A)), т.е. пересечение может быть определено как разность множеств кортежей. Схема предметной области остается общей для всех операндов и результата – экземпляров реляционных отношений. Все булевы (теоретико-множественные) операции сохраняют ключ.

Пусть dom(A) – множество всех кортежей над атрибутами схемы А и их доменами. Можно определить дополнение p(A) = dom(A) - p(A). Но в случае бесконечного множества значений мы получим бесконечное дополненние отношения. Поэтому принято использовать в таком случае активное дополнение p`(A) = adom(A, p) - p(A), заданное на активных доменах (т.е. adom(Aⁱ, p) есть множество используемых значений атрибута Aⁱ в экземпляре p(А)).

Если рассматривать экземпляр реляционного отношения как множество значений кортежей, то над множествами кортежей оказываются справедливыми все операции теории множеств: объединение, пересечение, симметричная разность, и т.д. Трудности возникают с бесконечными множествами, особенно образующими континиум. Определение активного дополнения реляционного отношения – пример необходимого сужения понятия теоретико-множественной операции дополниения, необходимого чтобы остаться в рамках конечных множеств (компьютер всегда оперирует конечными и дискретными объектами).

Особое значение операции эквивалентности множеств хорошо известно. Для двух экземпляров реляционных отношений с общей схемой это означает существование взаимно-однозначного соответствия между их кортежами. Заметьте, что порядок следования кортежей при этом оказываются несущественным. Эт очень важное свойство реляционных отношений.