formal_language_theory / lectures / unit_7
.pdf
Класс рекурсивных множеств
Так Tm T1 моделирует Tm T до тех пор, пока T не останавливается.
Если машина Tm T останавливается в неконечном состоянии, она, конечно, не принимает свою входную цепочку, но Tm T1 делает ещё одно движение в состояние p и принимает.
Ясно, что Tm T1 принимает язык
L \ L.
Что и требовалось доказать.
61
Класс рекурсивных множеств
Лемма 7.2. Пусть x1, x2, ... — эффективное перечисление всех предложений над некоторым конечным алфавитом , а T1, T2, ... — эффективное перечисление всех машин Тьюринга с символами ленты, выбранными из некоторого конечного алфавита, включающего .
Пусть L2 = { xi xi принимается машиной Ti }. Утверждается, что L2 — рекурсивно пере-
числимое множество, дополнение которого, т. е. L 2 = * \ L2, не является рекурсивно перечислимым.
Ret 66 Ret 67
62
Класс рекурсивных множеств
Доказательство. Предложения языка L2 принимаются машиной Тьюринга T, которая необязательно останавливается на предложениях, не принадлежащих языку L2, и действует следующим образом.
1. Для данного предложения x * машина T перечисляет цепочки x1, x2, ... до тех пор, пока она не находит цепочку xi = x, тем самым определяя, что x является i-й цепочкой в перечислении.
63
Класс рекурсивных множеств
2.Затем T генерирует Tm Ti и передает управление универсальной машине Тью-
ринга U, которая моделирует Tm Ti с входной цепочкой xi.
3.Если Ti с входной цепочкой xi останавливается и принимает, то Tm T тоже останавливается, принимая.
Если Tm Ti останавливается и отвергает xi, то T тоже останавливается, отвергая.
Наконец, если Tm Ti не останавливается, то Tm T тоже не останавливается.
64
Класс рекурсивных множеств
Таким образом, множество L2 —
рекурсивно перечислимо, поскольку оно распознаётся Tm T, описанной выше.
Теперь |
L |
2 |
не может быть r.e.s., поскольку |
|
если бы нашлась машина Тьюринга Tj, |
|||
распознающая L 2 , то |
|
||
(1) xj |
L |
2 = T(Tj) (2) xj L2 |
= T(Tj), |
|
|||
то есть xj принимается Tj тогда и только тогда, когда xj не принимается Tj.
Это противоречие означает, что такая Tm
Tj не существует, т. е. |
L |
2 |
— не является r.e.s. |
|
Что и требовалось.
65
Класс рекурсивных множеств
Пояснение. Поясним утверждение
(1) xj |
L |
2 |
= T(Tj) (2) xj L2 |
= T(Tj). |
|
Утверждение (1) следует из ошибочного предположения о существования Tm Tj,
распознающей язык |
L |
2 . |
|
Утверждение (2) следует из определения языка L2 как состоящего из цепочек, принимаемых Tm Tj.
66
Класс рекурсивных множеств
Теорема 7.2. Существует рекурсивно перечислимое множество, которое не является рекурсивным.
Доказательство. Согласно лемме 7.2 L2 — рекурсивно перечислимое множество, дополнение
которого |
L |
2 не является рекурсивно перечислимым. |
||
|
||||
Если бы L2 было рекурсивным, то по лемме 7.1 |
||||
его дополнение, |
L |
2 , тоже было бы рекурсивным и, |
||
|
|
|
|
|
следовательно, рекурсивно перечислимым, что противоречило бы утверждению леммы 7.2.
Итак, L2 — множество рекурсивно перечислимое,
но не рекурсивное. Что и требовалось доказать.
67
§7.4. Машины Тьюринга
играмматики типа 0
Вэтом параграфе мы докажем, что язык распознаётся машиной Тьюринга тогда и только тогда, когда он порождается грамматикой типа 0.
68
Машины Тьюринга и грамматики типа 0
Чтобы доказать достаточность, мы построим недетерминированную машину Тьюринга, которая недетерминированно выбирает вывод в грамматике и смотрит, совпадает ли результат этого вывода с входной цепочкой. Если да, то машина принимает её.
69
Машины Тьюринга и грамматики типа 0
Чтобы доказать необходимость, мы строим грамматику, которая порождает представление любой терминальной строки в виде цепочки нетерминалов грамматики, а затем моделирует действия данной машины Тьюринга на этой строке в терминах вывода.
Если входная строка принимается машиной Тьюринга, то выведенная строка нетерминалов, моделирующая содержание ленты в терминах вывода, преобразуется в терминальную, которые она представляет.
70