formal_language_theory / lectures / unit_8

Теория формальных языков и трансляций

Глава 8.

Линейно ограниченные автоматы и контекстнозависимые языки

1

§ 8.1. Линейно ограниченные автоматы

Линейно ограниченный автомат (lba linear-bounded automaton) есть недетермини-

рованная одноленточная машина Тьюринга, которая никогда не покидает те ячейки, на которых размещён её ввод.

Формально lba определяется следующим образом.

2

Линейно ограниченные автоматы

Определение 8.1. Линейно ограниченным автоматом называется формальная система

M= (Q, , , , q0, F),

вкоторой Q — множество состояний; q0 Q

Q — множество

конечных состояний; — алфавит допустимых символов ленты; — алфавит вход-

ных символов, который содержит два особых символа: ¢ и $ — левый и правый маркеры;

— отображение типа Q 2Q {L, R}.

3

Линейно ограниченные автоматы

Левый и правый маркеры, находятся с самого начала на концах входной цепочки для того, чтобы предотвращать выход головки ленты за пределы участка, на котором размещается входная цепочка.

Считается, что маркеры могут использоваться только в этой роли: на место маркера нельзя записать какой-нибудь другой символ ленты, и никакой символ ленты не может быть заменён каким-нибудь маркером.

4

Линейно ограниченные автоматы

Движения линейно ограниченного автомата описываются в терминах

конфигураций.

Конфигурация lba M обозначается как

(q, A1A2 … An , i),

где q Q; A1 , A 2 , … , An ; i — целое, причём 1 i n.

Согласно определению A1 = ¢, An = $.

5

Линейно ограниченные автоматы

Если (p, A, L) (q, Ai) и 1 < i n, то

(q, A1A2… Ai – 1 Ai Ai + 1… An , i) __M (p, A1A2… Ai – 1 AAi + 1… An , i – 1).

Если (p, A, R) (q, Ai) и 1 i < n, то

(q, A1A2… Ai – 1 Ai Ai + 1 … An , i) __ M

(p, A1A2… Ai – 1 AAi + 1… An , i + 1).

Причём A = Ai , если i = 1 (Ai = ¢ ) или i = n

(Ai = $) .

6

Линейно ограниченные автоматы

Другими словами, lba M печатает символ A на месте Ai, изменяет свое состояние на p и продвигает свою головку влево или вправо, не выходя из области, в которой символы находились изначально.

Отношения на множестве конфигураций

для недетерминированных машин Тьюринга образом.

7

Линейно ограниченные автоматы

Определение 8.2. Языком, paспознаваемым линейно ограниченным автоматом M,

называется множество

L = {w w ( \ {¢ , $})*,

8

Линейно ограниченные автоматы

Определение 8.3. Линейно ограниченный автомат M является детерминированным,

если # (q, A) 1 для любых q Q, A .

Неизвестно, является ли класс множеств, распознаваемых детерминированными lba, строгим подклассом множеств, распознаваемых недетерминированными lba, или они совпадают.

9

Линейно ограниченные автоматы

Конечно, справедливо, что любое множество, распознаваемое недетерминированным lba, принимается некоторой детерминированной машиной Тьюринга. Однако, длина ленты, требуемая этой Tm, может быть

экспоненциальной, а не линейной, функцией от длины входной цепочки.

10