formal_language_theory / lectures / unit_7

Неразрешимость проблемы остановки

6. Поскольку, как было выяснено на предыдущем шаге, Tm Ti останавливается с входной цепочкой xi, то универсальная машина Тьюринга останавливается и определяет, принимает машина Ti цепочку xi или нет.

В любом случае Tm T останавливается, принимая xi в случае, когда Tm Ti цепочку xi

не принимает, и наоборот, отвергая её, если Tm Ti её принимает.

51

Неразрешимость проблемы остановки

Итак, наше предположение о том, что существует машина Тьюринга T0, которая всегда останавливается и решает проблему остановки произвольной машины Тьюринга, привела нас к противоречию, состоящему в том, что мы сумели построить машину Тьюринга, распознающую язык L1.

Это даёт возможность сформулировать следующее утверждение.

52

Неразрешимость проблемы остановки

Теорема 7.1. Не существует алгоритма (т. е. машины Тьюринга, которая гарантированно останавливается) для определения, остановится ли в конце концов произвольная машина Тьюринга, начиная движение в произвольно заданной конфигурации.

Доказательство вытекает из подходящей формализации вышеприведённого рассуждения.

53

Неразрешимость проблемы остановки

Для многих проблем не существует разрешающего алгоритма, в частности, для решения некоторых проблем, касающихся формальных языков.

54

§ 7.3. Класс рекурсивных множеств

Мы можем теперь показать, что класс рекурсивных множеств является собственным подмножеством рекурсивно перечислимых множеств.

Другими словами, существует язык, который может быть распознан машиной Тьюринга, которая не останавливается на некоторых предложениях не из этого языка, но не может быть распознан никакой машиной Тьюринга, которая останавливается всегда.

55

Класс рекурсивных множеств

Примером такого множества является дополнение множества L1, о котором шла речь в предыдущем параграфе.

Прежде, чем утверждать это, докажем две леммы.

56

Класс рекурсивных множеств

Лемма 7.1. Если множество рекурсивно, то его дополнение рекурсивно.

Доказательство. Если L — рекур-

сивное множество, то существует машина Тьюринга T, гарантированно останавливающаяся, которая распознаёт язык L.

Ret 67

57

Класс рекурсивных множеств

Пусть T = (Q, , , , q0, F) и T(T) = L.

Можно предполагать, что после принятия входной цепочки x L Tm T не делает больше никаких движений, т. е. значение (q, X) не определено для любых q F и X .

58

Класс рекурсивных множеств

Построим другую машину Тьюринга

T1 = (Q {p}, , , 1, q0, {p}), у которой одно принимающее состояние p Q.

Если (q, X) определено для q Q \ F, X ,

то 1(q, X) = (q, X).

Если (q, X) не определено для q Q \ F, X ,

то 1(q, X) = p.

59

Класс рекурсивных множеств

Правила 1 Tm T1 включают все правиламашины T, так что T1 моделирует T.

Кроме того, функция 1 Tm T1 доопределяется для пар (q, X), q Q \ F, X , для которых движение Tm T не определено, движением, переводящим T1 в её принимающее состояние p.

60