formal_language_theory / lectures / unit_9

Теория формальных языков и трансляций

Глава 9.

Операции над языками

1

Булевы операции над языками обозначаются обычным образом: — объединение,— пересечение, C — дополнение.

Произведение L1 и L2 — это L1L2 = {xy x L1, y L2 }.

L0 = { },

Li + 1 = LLi , i ≥ 0,

Отображение s : V Π(U *), продолжаемое на V * по правилам s( ) = { } и s(x1x2) = s(x1)s(x2) для x1, x2 V * ,

Вообще, любую n-местную операцию над строками g : V * ... V * Π(U *), мы распространяем на языки над V таким образом:

2

Если подстановка s : V Π(U *) такова, что множество s(a) конечно для каждого a V, то s называется конечной подстановкой.

Если card(s(a)) = 1 для a V, то s называется морфизмом.

Если s(a) для каждого a V, то s — нестирающая подстановка (нестирающий морфизм).

Морфизм h : V * U * называется кодированием, если h(a) U для каждого a V, и слабым кодированием, если h(a) U { } для всех a V.

Если V1 V2 = , то морфизм h : (V1 V2)* V 1* , определяемый правилом h(a) = a для a V1 и h(a) = в противном случае, мы будем называть проекцией (на V1) и обозначать prV .

Для морфизма h : V * U * мы определим отображение h−1 : U * Π(V *),

(которое назовём обратным морфизмом) по правилу h−1 (w) = {x V * h(x) = w}.

3

Для x, y V * определим их перетасовку как

x y = {x1 y1... xn yn | x = x1 ... xn, y = y1 ... yn , xi, yi V *, 1 ≤ i ≤ n, n ≥ 1}.

Зеркальным отображением строки x = a1 a2 ... an, где ai V , 1 ≤ i

≤n, назовём строку mi(x) = an... a2a1.

Как обычно, mi(L) = {mi(x) | x L}.

Левое частное языка L1 V * при делении на язык L2 V * — это

V * | существует строка x L2 , такая что x w L1 }.

V * по строке x V * — это

¶ lx (L) = {w Î V * xw Î L}.

Правое частное и правая производная определяются сим-

метричным образом:

L1 \ L2 = {w V * | существует строка x L2 , такая что wx L1 },

4