ТУ - лекции Шмырова / Лекции по ТУ / 20
.pdf
Лекция 20. Игольчатая вариация. Принцип максимума Л.С. Понтрягина.
Преобразование приращения функционала.
Рассмотрим управляемую систему
x = f(t; x; u);
t 2 [0; T ]; x(0) = x0; u 2 D
и функционал |
I(u) = g(x(T )): |
(1) |
|
Рассотрим приращение функционала (1) при приращении управления u~ = u+¢u
I(~u) ¡ I(u) = g(~x(T )) ¡ g(x(T )); |
(2) |
ãäå x(t) = x(t; x0; u) è x~(t) = x(t; x0; u~). Используя разложение функции g(x(T )) â ðÿä ïî ¢x, перепишем выражение (2) â âèäå
I(~u) ¡ I(u) = g(~x(T )) ¡ g(x(T )) = |
@g(x(T )) |
¢x(T ) + o(k¢x(T )k): |
(3) |
||||||
|
|
|
|||||||
|
@x |
||||||||
Переходя от приращения к вариации, запишем линейную часть (3) |
|
||||||||
|
±I(u) = |
@g(x(T )) |
±x(T ): |
(4) |
|||||
|
|
@x |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Преобразуем (4). Для этого рассмотрим уравнение в вариациях |
|
||||||||
±x ¡ |
|
@f(t; x; u) |
¡ ¢uf(t; x; u) = 0 |
|
|||||
|
|
|
(5) |
||||||
|
@x |
|
|||||||
±x(0) = 0: |
|
|
|
|
|
|
|
||
Введем в рассмотрение вектор-функцию Ã(t), удовлетворяющую дифференциально-
му уравнению |
|
|
Ã_(t) = ¡ µ@f(@x |
|
) |
¶ |
|
Ã(t) |
|
(6) |
||||
|
|
|
|
|
|
t; x; u |
|
|
¤ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
с конечным условием |
|
|
|
|
@g(x(T )) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Ã(T ) = ¡ |
: |
|
|
(7) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
@x |
|
|
|
|
||||||
Используя выражение (5), выпишем очевидное равенство |
|
|||||||||||||
±I(u) = |
(@x |
±x(T ) + Z0 |
ä(t) µ±x ¡ |
|
|
@x |
¡ ¢uf(t; x; u)¶dt: |
(8) |
||||||
|
@g x(T )) |
T |
|
|
|
|
|
@f(t; x; u) |
|
|
||||
Заметим, что |
Z0T ä(t)±xdt = ä(T )±x(T ) ¡ Z0T Ã_¤(t)±xdt: |
(9) |
||||||||||||
89
Используя выражения (6), (7), (9), преобразуем (8) ê âèäó
Z T
±I(u) = ¡ ä(t)¢uf(t; x; u)dt: (10)
0
Введем функцию H(t; x; Ã; u) = ä(t)f(t; x; u). Тогда вариация (10) запишется в виде Z T
±I(u) = ¡ ¢uHdt: (11)
0
При этом, функция H в переменных (x; Ã) будет удовлетворять уравнениям Га-
мильтона |
@H |
|
|
|
|
|
|
= f(t; x; u) = x |
|
||||
|
@Ã |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
@H |
|
¤ @f |
_¤ |
|
|
|
@x |
= Ã |
|
@x |
= ¡Ã |
: |
Принцип максимума.
Теорема 1 Пусть u0 = u0(t) оптимальное управление, доставляющее минимум функционалу (1), а функция Ã0(t) удовлетворяет на оптимальном процессе уравнениям (6), (7). Тогда при почти всех t 2 [0; T ] (кроме разве что точек разрыва управления u0(t)) выполняется следующее условие максимума:
max H(t; x0(t); Ã0(t); u) = H(t; x0(t); Ã0(t); u0(t)); |
|
(12) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
u2U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ãäå x0(t) траектория, соответсвующая u0(t), U компакт, множество значений |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
управлений. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство Предположим, что при некотором |
|
|
|
|
|
|
|
T |
, не являющемся точ- |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
[0; |
0 |
] |
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t); Ã |
|
(t)). |
|||||||||||||||||
кой разрыва управления u |
(t), существует u, такое, что H(t; x (t); Ã |
|
(t); u) > H(t; x |
|
(t); u |
|||||||||||||||||||||||||||
Построим тогда в точке |
|
игольчатую вариаию управления u0(t): |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
½ |
0;¡ |
t 2= [t ¡ ±;Tt + ±): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
¢u±(t) = |
u |
u0(t); t 2 [0 |
; T ] [ |
t |
¡ ±; |
t |
+ ±); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Здесь ± положительное вещественное число. Тогда при достаточно малом ± из представления (11) следует
±I = ¡2¢uH(t)± + o(±):
¢I = ±I + o(±) = ¡2¢uH(t)± + o(±):
Так как, по нашему предположению ¢uH(t) > 0, òî
¢I < 0:
Следовательно, I(u) < I(u0), управление u0 не оптимальное, что противоречит условию теоремы.
Замечание 1 Очевидно, что максимум достигается и в точках разрыва управления, только в данном случае необходимо иметь в виду односторонние пределы.
90
Замечание 2 Пусть функция f(t; x; u) ìóì ïî u достигается во внутренних
непрерывно диффернцируема по u и макситочках U. Тогда из условия (12) следует
@H(t; x0(t); Ã0(t); u0(t)) = 0: @u
91