Лабы / Разработки / Labs1

Лабораторная работа 1

Численные методы минимизации функций одной переменной

Будем рассматривать задачу минимизации функции одной переменной

на отрезке:

Предполагается, что целевая функция является унимодальной на отрезке .

В данной работе изучаются основные методы численного нахождения :

метод деления отрезка пополам и метод золотого сечения.

Метод деления отрезка пополам

Основная идея: пусть . Сравнив значения в точках и (пробных точках), можно сократить отрезок поиска точки минимума , перейдя к отрезку , если , или к отрезку , если . Описанную процедуру можно повторить необходимое число раз, последовательно уменьшая отрезок, содержащий точку минимума. Когда длина последнего отрезка станет достаточно малой следует выбрать середину этого отрезка в качестве .

Алгоритм: пусть требуемая точность определения .

1. Выбирать и по следующим формулам

Здесь . Вычислить и .

2. Сравнить и . Если , то перейти

к отрезку , положив , иначе к отрезку ,

положив .

Вопрос: Во сколько раз уменьшается отрезок? Остается ли т. минимума на

выбранном отрезке?

3. Найти достигнутую погрешность . Если , то перейти к следующей итерации, вернувшись к пункту 1, в противном

случае завершить поиск .

4. Положить . Найти .

Дополнительно можно посмотреть зависимость n от , где n число итераций.

Метод золотого сечения

Основная идея: Рассмотрим такое симметричное расположение точек и на отрезке , при котором одна из них становится пробной точкой и на новом отрезке,

полученном после исключения части исходного отрезка. Использование таких точек позволяет на каждой итерации метода исключения отрезков, кроме первой, ограничится определением только одного значения , так как другое значение уже найдено на одной из предыдущих итераций.

Общие сведения:

Для отрезка выражения для пробных точек имеют вид

Точки и обладают следующим свойством: каждая из них делит отрезок на две неравные части так, что отношение длины отрезка к длине его большей части равно отношению длин большей и меньшей частей отрезка (точки золотого сечения).

Справедливы соотношения и . Поэтому

на каждой итерации пробную точку нового отрезка можно найти по перешедшей на него точке.

Вопрос: Во сколько раз уменьшается отрезок на k-ой итерации?

Алгоритм: 1. Найти и по формулам. Вычислить и . Положить

, .

2. Проверка на окончание поиска : если , то перейти к 3, иначе к

п. 4.

3. Переход к новому отрезку и новым пробным точкам. Если ,

то положить и вычислить

. Положить и перейти к шагу 2.

Случай разобрать самостоятельно.

4. ,

Дополнительно можно посмотреть зависимость n от , где n число итераций. Сравнить с методом деления отрезка пополам