Правило вывода: .

Это правило называется modus ponens (кратко: MP). Оно позволяет заявить о выводимости формулы если ранее были выведеныи

Последовательность формул называетсявыводом, если каждое – либо аксиома, либо получается из каких-либо двух формул изприменением правила вывода. Формуланазываетсявыводимой (или доказуемой), если существует вывод гдеДоказуемые формулы называются такжетеоремами. Приведём примеры выводов. Как обычно, внешние скобки в формулах мы будем часто опускать.

Пример 1. Вывод формулы

1. (аксиома 2 при

2. (аксиома 1);

3. (из (1) и (2) по МР);

4. (аксиома 1);

5. (из (3) и (4) по МР).

Пример 2. Вывод формулы

(1) – (5) – вывод формулы (см. пример 1);

6. (аксиома 8);

7. (из (5) и (6) по MP);

8. (из (5) и (7) по MP).

Секвенции, квазивывод

Пусть – совокупность формул ИВ (возможно, пустая). Последовательность формулгденазываетсяквазивыводом (формулы если каждое– либо аксиома, либо формула излибо получается из предшествующих формул по правилу modus ponens. Если для формулысуществует квазивывод из формулто мы говорим, что формулавыводится изи пишемЗаписьестественно назвать секвенцией.

Квазивывод можно интерпретировать так: мы добавляем к списку аксиом формулы некоторой совокупности и осуществляем вывод нашей формулы из “расширенного” списка аксиом.

Лемма о дедукции. Пусть – совокупность формул, аи– формулы. Тогдав том и только том случае, если

Доказательство. Необходимость. Пусть существует квазивывод формулы из формул совокупностиЗдесь каждое– либо аксиома, либо формула излибо получается из предшествующих формул по MP. Нам надо получить квазивывод формулыизЗначит, можно использовать формулуПродолжим приведённый ранее квазивывод:Это будет квазивывод формулыиздействительно,аполучается изипо MP.

Достаточность. Пусть есть квазивывод гдеа каждоеудовлетворяет одному из условий:

(а) – аксиома;

(б)

(в)

(г) получается из предыдущих по MP.

Рассмотрим последовательность формул . . . ,

Последняя формула совпадает с формулой для которой надо написать квазивывод. Но последовательностьв общем случае не является квазивыводом. Мы её будем “исправлять”, двигаясь слева направо и вставляя перед формулойряд формул так, чтобы получился квазивывод.

Предположим, что формулы . . . ,уже просмотрены и недостающие до квазивывода формулы вставлены. Рассмотрим формулу

Случай (а): – аксиома. Тогдазаменяем последовательностьюв которой первая и вторая формулы – аксиомы, а третья получена из них поmodus ponens.

Случай (б): – формула изВ этом случае делаем то же самое:Теперь первая формула – не аксиома, а элемент изчто допустимо.

Случай (в): В этом случае скобкаимеет видВставляем перед ней четыре формулы, которые вместе ссоставляют вывод формулы(см. пример 1).

Случай (г): получается из предыдущих по правилу вывода. В этом случае среди формулесть формулыиОчевидно,при некоторомЗначит, в последовательностиуже встречались формулыиФормулузаменяем следующей последовательностью формул:

(аксиома);

(получается по MP);

(получается по MP).

Применим лемму о дедукции к доказательству выводимости формул.

Пример 3. Докажем выводимость формулы

Решение. По лемме о дедукции выводимаПоследняя секвенция имеет квазивывод(двукратное применениеMP).

Пример 4. Чтобы осуществить связь между генценовским и гильбертовским исчислениями высказываний, докажем правило вывода 1:

Решение. По условию есть квазивывод и квазивыводгде каждоеили– либо аксиома, либо элемент излибо получается поMP. Добавим аксиому и получим квазивывод

Пример 5. Докажем правило Это правило называется“разбор случаев” (здесь – “первый случай”,– второй).

Решение. По лемме о дедукции мы можем считать, что существует квазивывод и квазивыводОбъединим их:

Продолжим эту последовательность до квазивывода Добавим аксиомуПрименимmodus ponens: Ещё разmodus ponens: Добавим формулуПрименимmodus ponens, получим Таким образом у нас получился квазивывод формулыизи

Пример 6. Докажем правило

Решение. Напишем квазивывод формул иизЗатем добавим три формулы:(аксиома),(из двух последних по MP),(из последнего и четвёртого от конца по MP).

Пример 7. Докажем правило

Решение. По лемме о дедукции имеем: иНапишем аксиому (10):Так как извыводимото поmodus ponens будет По условиюСнова применимmodus ponens, получим:

Приведём несколько формул, доказательство которых не использует закон исключённого третьего, т.е. аксиому (11).

• (c) (закон контрапозиции).

Доказательство. По лемме о дедукции (применённой дважды) получим, что доказательство утверждения (с) сводится к доказательству утверждения Так какито по правилу из примера 7 получим:

• (d)

Доказательство. Очевидно, и Отсюда по правилу из примера 7 получима значит, по лемме о дедукции будем иметь

Оказывается, формулы, обратные формулам (с) и (d), невозможно доказать без использования закона исключённого третьего, т.е. формулы иневыводимы в ИИВ. Докажем эти формулы в классическом ИВ, т.е. пользуясь аксиомой (11).

• (е)

Доказательство. По лемме о дедукции достаточно доказать, что Так как– аксиома, то нам достаточно получитьПо принципу разбора случаев для этого достаточно доказатьиПервое соотношение очевидно, а второе доказывается так: изипо правилуmodus ponens получаем а, имеяипо правилу из примера 6 получаем

• (f)

Доказательство. Так как мы можем использовать аксиому (11), нам достаточно доказать, что По принципу разбора случаев достаточно доказать, чтоиПервое соотношение очевидно, а второе следует из правила, полученного в примере 6.

9. Понятие об интуиционизме и конструктивизме в логике. Интуиционистское ИВ. Недоказуемость закона исключённого третьего.

Голландский математик Брауэр решил, что нельзя использовать в рассуждениях закон исключённого третьего, так как он предполагает, что любое суждение либо истинно, либо ложно, а это, по мнению Брауэра, противоречитинтуиции. Брауэр считал, что математика в своих абстрактных рассуждениях оторвалась от интуитивных корней и поэтому её выводы оказались неверными. Он считал, что следует очистить математику от неправильных (по его мнению) рассуждений и, в частности, убрать из математической практики закон исключённого третьего.Возражения против этого закона следующие:если мы утверждаем, что верно, то надо предъявить доказательство утвержденияа если мы утверждаем, чтоневерно, надо предъявить доказательство утвержденияговорить же о том, что обязательно либолибоокажется истинным, по мнению Брауэра, неправомерно. Это направление в математике и математической логике получило названиеинтуиционизма. После Брауэра интуиционистские идеи были подхвачены Гейтингом и некоторыми другими математиками. В нашей стране идеи, близкие к интуиционистским, нашли выражение вконструктивизме, в создании которого большую роль сыграл А.А.Марков. Конструктивисты пошли дальше интуиционистов и требовали ещё больших ограничений в использовании логических средств.

Приведём некоторые результаты интуиционистской логики, созданной Гейтингом. Напомним, что она определяется гильбертовскими аксиомами (1) – (10) , а значит, нельзя использовать аксиому (11) – закон исключённого третьего.

Многие результаты исчислений гильбертовского типа верны не только в классической, но и в ИЛ. В частности, вывод формулы лемма о дедукции, “разбор случаев” не требовали применения закона исключённого третьего, а значит, справедливы в интуиционистской логике. Формулыдоказывались также без использования аксиомы (11), поэтому справедливы в ИИВ. Обратные формулысправедливы в классическом ИВ, но несправедливы в интуиционистском. Итак, в ИЛ двойное отрицание неэквивалентно отсутствию отрицания. Однакотройное отрицание эквивалентно однократному. Действительно, в доказательстве формулы можно сразу вместовзятьи мы получим:Возьмём в формулевместоформулуТогда получим:Так какуже доказано, то поmodus ponens получим:

Один из законов де-Моргана, а именно: исправедлив в ИИВ, так как его доказательство не использует закон исключённого третьего. Другой закон де-Моргана в интуиционистской логике несправедлив.

Приведём примеры формул, не выводимых в интуиционистской логике (здесь – атомарные формулы):

Подчеркнём, что невыводимость перечисленных формул гарантируется лишь в случае, когда и– атомарные формулы. Если – неатомарные, то некоторые из перечисленных формул могут оказаться выводимыми; например, если во второй формуле вместовзятьто получится выводимая в ИИВ формула

Докажем теперь невыводимость формулы (закона исключённого третьего) в интуиционистской логике. Рассмотрим трёхзначное множество значений истинности в котором 0 интерпретируется как ложь (Л), 1 – как истина (И), 1/2– как неопределённость (Н). Определим конъюнкцию и дизъюнкцию обычным способом:отрицание:Импликация определяется так:

Можно проверить, что аксиомы гильбертова исчисления (1) – (10) являются тождественно истинными в трёхзначной логике, т.е. при любом присвоении буквам значений из множестваформула оказывается равной 1. Кроме того, правилоmodus ponens сохраняет тождественную истинность. Значит, все выводимые в ИИВ формулы тождественно истинны (в трёхзначной логике). Однако, формула тождественно истинной не является, так как приННН = Н  И. Значит, формула невыводима в ИИВ. (отрицание неопределённости=ложь)