Свойства вполне упорядоченных множеств:

1. любое подмножество вполне упорядоченного множества вполне упорядочено;

2. если и– два непересекающихся вполне упорядоченных множества, то порядок на множествеопределённый следующим образом.

3. 

превращает во вполне упорядоченное множество.

Доказательство очевидно.

Пусть – линейно упорядоченное множество.Начальным отрезком множества назовём такое подмножествочто

Лемма 1. Для любых двух начальных отрезков линейно упорядоченного множествалиболибоДоказательство. Пусть Тогда существуетВозьмём любой элементЕсли быточто невозможно. Значит,Отсюда следует, чтоИтак, любой элементлежит вСледовательно,

Два линейно упорядоченных множества называются изоморфными, если между ними существует взаимно однозначное соответствие, сохраняющее порядок.

Теорема 1. Для любых двух вполне упорядоченных множеств одно из них изоморфно начальному отрезку другого. Доказательство. Пусть – вполне упорядоченные множества. Рассмотрим изоморфизмыгде– начальные отрезки множествТакие изоморфизмы есть. Например, еслиинепусты, аи– наименьшие элементы множествито– изоморфизм начальных отрезков. Докажем теперь, что для каждого начального отрезкамножестваизоморфизмгде– начальный отрезок множестваесли существует, то однозначен. Действительно, пусть– изоморфизмы, где– начальный отрезок множестваПусть– наименьший элемент изтакой, чтоМы можем считать, чтоПоложимОчевидно,отображает взаимно однозначнонаДляПо условиюиПоэтомупри некоторомИмеем:что противоречит равенству

Пусть – объединение всех начальных отрезковдля которых существует изоморфизмна начальный отрезокмножестваРассмотрим отображениеопределённое следующим образом: еслитодля некоторогодля которого есть изоморфизмположимЭто определение является корректным, так как еслии– изоморфизм, то либолибоЕслитои– изоморфизмы начального отрезкана начальный отрезокилиПоэтомуЗначит,что доказывает корректность определения отображения

Очевидно, – наибольший начальный отрезок вотображающийся на начальный отрезок вПустьДокажем, что либолибоПредположим, чтоиПустьПоложимОчевидно,и– начальные отрезки множествисоответственно. Определим отображениеположивдляиОчевидно,– изоморфизм начальных отрезковиТак как– наибольший начальный отрезок, изоморфный начальному отрезку втоОднакоМы получили противоречие. Следовательно,илиВ первом случае множествоизоморфно начальному отрезку множестваво втором случае – наоборот. Теорема доказана.

Лемма 2. Пусть – вполне упорядоченные множества и множествоизоморфно начальному отрезку множестваТогда этот изоморфизмопределяется единственным образом.Доказательство. Пусть – вложение, сохраняющее порядок, и– начальный отрезок множестваНадо доказать, чтоПустьиМожно считать, чтоТак как– начальный отрезок,итодля некоторогоТак кактозначит,Так как– вложение, тоно это невозможно. Таким образом,

Следствие. Вполне упорядоченное множество не может быть изоморфно своему начальному отрезку, отличному отДоказательство. Пусть – вполне упорядоченное множество и– вложение, сохраняющее порядок, причём– начальный отрезок множестваТождественное отображениетоже является изоморфизмомна начальный отрезокоткуда по лемме получаем:Следовательно,