Схемы аксиом гильбертовского ив

(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)

Исчисление, использующее аксиомы (1) – (11), называется классическим исчислением высказываний(ИВ), аксиомы (1) – (10) определяютинтуиционистское исчисление высказываний(ИИВ).

Правило вывода

Это правило называется modus ponens(кратко:MP). Оно позволяет заявить о выводимости формулыесли ранее были выведеныи

Последовательность формул называетсявыводом, если каждое– либо аксиома, либо получается из каких-либо двух формул изприменением правила вывода. Формуланазываетсявыводимой(илидоказуемой), если существует выводгдеДоказуемые формулы называются такжетеоремами. Приведём примеры выводов. Как обычно, внешние скобки в формулах мы будем часто опускать.

Пример 1. Вывод формулы

1. 

(аксиома 2 при

2. (аксиома 1);

3. (из (1) и (2) по modus ponens);

4. (аксиома 1);

5. (из (3) и (4) по modus ponens).

Пример 2. Вывод формулы

(1) - (5) — вывод формулы (см. пример 1);

6. (аксиома 8);

7. (из (5) и (6) по MP);

8. (из (5) и (7) по MP).

Секвенции, квазивывод

Пусть – совокупность формул ИВ (возможно, пустая). Последовательность формулгденазываетсяквазивыводом(формулыесли каждое– либо аксиома, либо формула излибо получается из предшествующих формул по правилу modus ponens. Если для формулысуществует квазивывод из формулто мы говорим, что формулавыводится изи пишемЗаписьестественно назвать секвенцией.

Квазивывод можно интерпретировать так: мы добавляем к списку аксиом формулы некоторой совокупности и осуществляем вывод нашей формулы из “расширенного” списка аксиом.

Лемма о дедукции. Пусть– совокупность формул, аи– формулы. Тогдав том и только том случае, если

Доказательство.Необходимость. Пусть существует квазивывод формулыиз формул совокупностиЗдесь каждое– либо аксиома, либо формула излибо получается из предшествующих формул по MP. Нам надо получить квазивывод формулыизЗначит, можно использовать формулуПродолжим приведённый ранее квазивывод:Это будет квазивывод формулыиздействительно,аполучается изипо MP.

Достаточность. Пусть есть квазивыводгдеа каждоеудовлетворяет одному из условий:

(а) – аксиома;

(б)

(в)

(г) получается из предыдущих по MP.

Рассмотрим последовательность формул

. . . ,

Последняя формула совпадает с формулой для которой надо написать квазивывод. Но последовательностьв общем случае не является квазивыводом. Мы её будем “исправлять”, двигаясь слева направо и вставляя перед формулойряд формул так, чтобы получился квазивывод.

Предположим, что формулы . . . ,уже просмотрены и недостающие до квазивывода формулы вставлены. Рассмотрим формулу

Случай (а):– аксиома. Тогдазаменяем последовательностьюв которой первая и вторая формулы – аксиомы, а третья получена из них поmodusponens.

Случай (б):– формула изВ этом случае делаем то же самое:Теперь первая формула – не аксиома, а элемент изчто допустимо.

Случай (в):В этом случае скобкаимеет видВставляем перед ней четыре формулы, которые вместе ссоставляют вывод формулы(см. пример 1). 4

Случай (г):получается из предыдущих по правилу вывода. В этом случае среди формулесть формулыиОчевидно,при некоторомЗначит, в последовательностиуже встречались формулыиФормулузаменяем следующей последовательностью формул:

(аксиома);

(получается по MP);

(получается по MP).

Применим лемму о дедукции к доказательству выводимости формул.

Пример 3. Докажем выводимость формулы

Решение. По лемме о дедукции

выводима Последняя секвенция имеет квазивывод(двукратное применениеMP).

Пример 4. Чтобы осуществить связь между генценовским и гильбертовским исчислениями высказываний, докажем правило вывода 1:

Решение. По условию есть квазивыводи квазивыводгде каждоеили– либо аксиома, либо элемент излибо получается поMP. Добавим аксиомуи получим квазивывод

Пример 5. Докажем правило Это правило называется“разбор случаев” (здесь – “первый случай”,– второй).

Решение. По лемме о дедукции мы можем считать, что существует квазивыводи квазивыводОбъединим их:

Продолжим эту последовательность до квазивывода Добавим аксиомуПрименимmodusponens:Ещё разmodusponens:Добавим формулуПрименимmodusponens, получимТаким образом у нас получился квазивывод формулыизи

Пример 6. Докажем правило

Решение. Напишем квазивывод формулиизЗатем добавим три формулы:(аксиома),(из двух последних по MP),(из последнего и четвёртого от конца по MP).

Пример 7. Докажем правило

Решение. По лемме о дедукции имеем:иНапишем аксиому (10):Так как извыводимото поmodusponensбудетПо условиюСнова применимmodusponens, получим:

Приведём несколько формул, доказательство которых не использует закон исключённого третьего, т.е. аксиому (11).

(а)

Доказательство. По лемме о дедукции достаточно доказать, что

Для этого, в свою очередь, достаточно доказать, что

и

Так как идоказываются аналогично, то будем доказывать только

По лемме о дедукции равносильно следующему:Добавив к этой последовательности аксиому (6), получим квазивывод формулыизи

(b)

Доказательство. Из аксиомипо принципу разбора случаев приполучим:

(1)

Так как итоАналогичноПо принципу разбора случаев (приполучим:

(2)

Из (1) и (2) получим: Отсюда по лемме о дедукции получим (b).

(c)(закон контрапозиции).

Доказательство. По лемме о дедукции (применённой дважды) получим, что доказательство утверждения (с) сводится к доказательству утвержденияТак какито по правилу из примера 7 получим:

(d)

Доказательство. Очевидно, иОтсюда по правилу из примера 7 получима значит, по лемме о дедукции будем иметь

Оказывается, формулы, обратные формулам (с) и (d), невозможно доказать без использования закона исключённого третьего, т.е. формулыиневыводимы в ИИВ. Докажем эти формулы в классическом ИВ, т.е. пользуясь аксиомой (11).

(е)

Доказательство. По лемме о дедукции достаточно доказать, чтоТак как– аксиома, то нам достаточно получитьПо принципу разбора случаев для этого достаточно доказатьиПервое соотношение очевидно, а второе доказывается так: изипо правилуmodusponensполучаема, имеяипо правилу из примера 6 получаем

(f)

Доказательство. Так как мы можем использовать аксиому (11), нам достаточно доказать, чтоПо принципу разбора случаев достаточно доказать, чтоиПервое соотношение очевидно, а второе следует из правила, полученного в примере 6.

Следующая теорема показывает, что в списке аксиом классического исчисления высказываний аксиома (10)() является лишней, так как следует из остальных аксиом. В этой теореме существенно, что мы можем пользоваться аксиомой (11) – законом исключённого третьего. В интуиционистской логике аксиома (10) лишней не является.

Теорема. Аксиома (10) следует из аксиом (1) – (9), (11).

Доказательство. По лемме о дедукции достаточно доказать, чтоТак как– аксиома, то утверждение сводится к доказательству секвенцииПо принципу разбора случаев достаточно установить, что

(1)

и

(2)

По правилу МР имеем: иНапишем аксиому (9):Тогда последовательность

будет квазивыводом формулы изчто доказывает секвенцию (1). Секвенция(2) очевидна.