Независимость правил вывода

Теорема 5. Правила вывода 1 – 12 независимы.

Доказательство. Нам надо доказать, что ни одно из правил 1–12 не следует из других, т.е. при удалении любого из этих правил класс доказуемых секвенций сужается.

Рассмотрим правило 1:Переопределим конъюнкцию, назвав конъюнкцией тождественно ложное высказывание, а определения дизъюнкции, отрицания и импликации оставим прежними. Можно проверить, что правила 2 - 12 переводят тождественно истинные секвенции в тождественно истинные. Так как секвенцияне является в новом смысле тождественно истинной, то она недоказуема (без правила 1). Таким образом, правило 1 не является следствием из других правил.

Назовём характеристическим свойствомправиласвойство, которым обладают все секвенции, доказуемые с помощью правил, отличных оти не все, доказуемые с помощью правилаДля правил 2 – 8 (так же, как и для правила 1) таким характеристическим свойством будет тождественная истинность секвенций при надлежащих определениях отрицания, конъюнкции, дизъюнкции и импликации. Перечислим эти определения, оставив проверку читателю в качестве упражнения.

Правило 2		операции		обычные;
правило 3:		операции		обычные,
правило 4:		операции		обычные,
правило 5:		операции		обычные,
правило 6:		операции		обычные,
правило 7:		операции		обычные,
правило 8:		операции		обычные.

Для доказательства независимости правила 9 возьмём в качестве значений истинности множество Конъюнкцию и дизъюнкцию на множествеопределим обычным образом:Отрицание определим так:Импликацию определим следующим образом:Назначим пропозициональным переменнымкакие-либо значения истинностиа затем распространим значения истинности на другие формулы. Характеристическим свойством секвенциидляправила 9является следующее:а характеристическое свойство секвенции–(При этом, еслито считаем

Правило 10не следует из остальных, потому что без него не будет доказуема ни одна секвенция вида(т.е. характеристическим свойством является наличие формулы справа от знака

Для правила 11характеристическое свойство секвенции(соответственно,состоит в следующем: еслито секвенция(соответственно, секвенциядоказуема в ИВ.

Наконец, для правила 12характеристическое свойство секвенцийисостоит в том, что

1.4. Исчисление высказываний гильбертовского типа

Рассмотрим ещё одну формализацию исчисления высказываний. Она была предложена Д.Гильбертом и включает одинадцать схем аксиом и одно правило вывода (напомним, что в генценовском ИВ одна схема аксиом и двенадцать правил вывода). В гильбертовском ИВ определение формулы то же, что в генценовском. Мы пока не вводим здесь секвенции и говорим о выводимости (доказуемости) самой формулы. По определению выводимыми являются аксиомы и те формулы, которые получаются из аксиом и уже доказанных формул с помощью единственного правила вывода. Приведём схемы аксиом и правило вывода.