Глава 1 Исчисление высказываний

1. Формулы, секвенции, доказательства

Математическая логика – это формальный математический аппарат, описывающий процесс построения математических понятий и доказательства утверждений. После осуществления жёсткой формализации процесс получения доказательств и их проверки становится автоматической процедурой, которая может быть поручена компьютеру. В дальнейшем для краткости исчисление высказываний мы будем обозначать ИВ.

В параграфах 1.1–1.3 мы построим ИВ по схеме, предложенной Г.Генценом, и будем называть его генценовским исчислением высказываний. Далее нам будет удобно перейти к другой схеме изложения – гильбертовской (предложена Д.Гильбертом). Отличие двух схем друг от друга носит чисто технический характер (множество доказуемых утверждений у них одно и то же), и каждая из них составляет предмет классической логики. В параграфе 1.5 мы познакомим читателя с интуиционистской логикой, которая принципиально отличается от классической.

Язык ив. Формулы

Алфавит ИВсодержит следующие символы:

1. пропозициональные переменные– они обозначают элементарные высказывания – это “кирпичики”, из которых будут формироваться другие, более сложные высказывания;

2. логические связки:

3. служебные символы: “(“, “)”, “,” (левая скобка, правая скобка, запятая);

4. символ

Формула ИВ определяется индуктивно по следующей схеме:

1. атомарные формулы(простейшие) – это пропозициональные переменные;

2. если и– формулы, то– формулы.

Итак, формулами ИВ называются те и только те слова, записанные в алфавите ИВ, которые получаются по вышеприведённой схеме. Например, если – пропозициональные переменные, то– формулы, а– не формулы.

Хотя в общепринятом смысле является формулой, но по нашему строгому определению это не так ввиду отсутствия внешних скобок. Выражение– формула. Так же можно “исправить” третье выражение и получить формулуНаконец, выражение“исправляется” следующим образом:

Пусть дано слово в алфавитеПодсловом этого слова мы называем всякое слово вида гденачалом слова называется подслово видаСлово, в котором нет ни одной буквы, называетсяпустым словом и обозначается символом Пустое слово является подсловом любого слова.Подформулой формулы мы будем называть подслово словакоторое само является формулой.

Теперь нам надо получить несколько фактов о строении формул.

Лемма 1. Еслии– формулы и– началото

Доказательствопроведём индукцией подлинеформулыт.е. по количеству символов, входящих вЕсли длина равна 1, то– атомарная формула, тогдатоже атомарная; очевидно, чтоЕслине атомарна, тоначинается либо слибо сПустьначинается с символаТогдагде– формула. Так как– началототакже начинается споэтомугде– формула. Очевидно,– началоЗначит, по предположению индукцииОтсюда следует, что

Наконец, разберём случай, когда начинается с левой скобки. Тогдагде– один из символоваи– формулы. Так как– началототакже начинается с левой скобки, а значит,гдеаи– формулы. Так как– началото либо– началолибо– началоВ обоих случаях по предположению индукции получаемНо тогдаиОтсюда следует, что

Теорема 1. Всякая неатомарная формулаединственным образом представима в одном из следующих видов:гдеи– формулы.

Доказательство. Существование такого представления следует из определения формулы. Надо лишь доказать единственность. Понятно, что еслипредставима в видето её нельзя представить в видеи надо лишь применить предположение индукции к формулеПустьпредставима в виденеоднозначно. ТогдаОдна из формулявляется началом другой. Значит, по лемме 1Но тогдаиЭто доказывает единственность.

Следствие. Пусть– формула ИВ. Тогда с каждым вхождением символаили символав эту формулу однозначно связывается вхождение вподформулы, начинающейся с этого символа.

Доказательство. Действительно, если весть символто при построении формулыранее была построена формуланачинающаяся с этого символа, причём– тоже формула. Формулакак раз и является подформулой, начинающейся с данного вхождениясимвола Единственность следует из леммы 1. Аналогично разбираются случаи вхождения всимвола (.

Теорема 2. Пусть– формула, аи– вхождения вкаких-либо подформул. Тогда либоине пересекаются, либо одно из этих них является подсловом другой.

Доказательство. Пустьипересекаются. Тогда либо первый символ извходит влибо наоборот (читателю предлагается в этом месте сделать рисунок). Пусть, например, первый символ извходит веслиатомарно, то– подслово словаеслиначинается сто по следствию из теоремы 1 весть подформуланачинающаяся с этого символа. По лемме 1совпадает стогда– подслово словааналогично разбирается случай, когданачинается с (.

Из теоремы 1 следует, что существует алгоритм,определяющий по слову, записанному в алфавите ИВ, является ли оно формулой.

Замечание. Если в определении формулы опустить внешние скобки, т.е. считатьформулами, то наши утверждения перестанут быть верными. Например, неверна будет теорема 1, так как выражениеявляется в новом смысле формулой, но представимо в виденеоднозначно. Можно, правда, вместо внешних скобок ввести внутренние, т.е. для формулисчитать формуламиоднозначность в этом случае будет восстановлена.

В дальнейшем мы часто будем использовать неформальный подход и внешние скобки опускать, считая формулами, а точнее – краткими записями формулЭти сокращённые обозначения предназначены лишь для облегчения записи формул и недопустимы в формальной теории.

Отметим ещё возможность бесскобочной записи. Действительно, если вместописатьвместо–и вместо–то скобки не нужны вовсе. Приведём примеры перехода от записи со скобками к бесскобочной записи:——В арифметических выражениях также возможна бесскобочная запись: