3.2. Основные понятия теории моделей

Напомним определения операций и отношений на множестве, а именно: п-арной операциейна множественазывается отображениеПримы получаем понятиебинарной операции(например, сложение и умножение действительных или натуральных чисел являются бинарными операциями). Приоперация называетсяунарной. Примерами унарных операций могут служить: а) операциявзятия обратного элемента в группе, б) операциятранспонирования матриц, в) операцияумножения вектора на фиксированный скаляр, г) комплексное сопряжениеПримы получаемнуль-арную операцию, которая заключается в выделении в множественекоторого элемента.

п-арным отношением наназывается отображениеп-арное отношение иначе называютп-арным(илип-местным)предикатом. Двуместный предикат– этобинарное отношение(к числу которых относятся =,и т.д.). Одноместный предикат– этосвойствоэлементов множества(еслимы говорим, что элементобладает данным свойством, а при– не обладает). Нульместный предикат – это просто истина 1 или ложь 0 – он не зависит от элементов множества

Вообще говоря, понятие операции является в некотором смысле излишним и может быть выражено через понятие отношения. Например, бинарная операция “+” на множестве вполне определяется тернарным отношениемВ общем случаеп-арную операцию можно заменить-арным отношениемпричёмОднако замену операции отношением обычно не производят, так как операция является привычным и удобным математическим понятием.

Сигнатуройназывается парагде– набор символов операций– символ-арной операции),– набор символов отношений– символ-арного отношения).

Примеры сигнатур:

1. Группу можно рассматривать в сигнатуре (один символ бинарной операции – умножения и ни одного символа отношений) или в сигнатуре(один символ бинарной операции – умножения и один символ унарной операции – взятия обратного).

2. Кольцо обычно рассматривают в сигнатуре иногда в сигнатуре(0 – символ нульарной операции – взятия нуля). Кольцо с единицей иногда рассматривают в сигнатуреиногда в сигнатуре

3. –обычная сигнатура для упорядоченной группы (здесь

4. –сигнатура частично упорядоченного множества (здесь Ф

5. В предыдущем разделе мы рассматривали множество натуральных чисел в сигнатуре (штрих обозначает унарную операцию – взятие следующего элемента).

Замечание. Следует различатьп-арную операциюисимволп-арной операции. Символ – это не сама операция, а толькозначокдля неё. При этом, если сказано, что– символп-арной операции, то нельзя вместоподставлятьk-арную операцию приТакое же согласование должно быть между символом отношения и самим отношением.

Пусть – сигнатура.Моделью сигнатурыназывается множество такое, что каждому символу операциипоставлена в соответствие операция той же арности на множествеи каждому символу отношенияпоставлено в соответствие отношениетой же арности на множествеОперацию мы будем обозначать той же буквой, что и символ операции, а отношение – так же, как символ отношения. Множествомы будем называтьносителем модели.

Примеры моделей:

1. Если задана сигнатура где– символ бинарной операции, то моделью этой сигнатуры будет любое множествона котором задана одна бинарная операция. Такое множество называетсягруппоидом. Если эта операция ассоциативна (т.е.то– полугруппа. Еслиудовлетворяет аксиомам группы (ассоциативность, существование единицы, существование обратного элемента), то– группа.

2. Рассмотрим модель с двумя бинарными операциями. Среди таких моделей выделяются кольца, поля, тела и т.д. Интересно отметить, что эти классы моделей так же, как в предыдущем примере класс полугрупп и класс групп, определяются каким-либо списком аксиом.

3. Частично упорядоченное множество определяется как модель где– символ бинарного отношения, удовлетворяющий следующим аксиомам:

1) (рефлексивность), 2)(транзитивность), 3)(антисимметричность). Если кроме этих аксиом выполняется аксиома 4)(дихотомичность), тоназываетсялинейно упорядоченным множеством,илицепью.

Термы и формулы логики первого порядка,

язык узкого исчисления предикатов

Пусть задана сигнатура т.е. множествосимволов операций и множествосимволов отношений.Язык логики первого порядка(другое название:язык узкого исчисления предикатов (УИП)) содержит следующие символы:

1. символы из множеств и

2. алфавит предметных переменных; их мы будем, как правило, обозначать маленькими латинскими буквами (преимущественно из второй половины алфавита) с индексами или без, т.е.алфавиткак правило, будет предполагаться счётным;

3. логические связки:

4. служебные символы: “,”, “(”, “)” (запятая, левая и правая скобки).

Термопределяется индуктивно:

1. предметная переменная – терм;

2. если – термы и– символп-арной операции, то– терм.

Приведём примеры термов. Чтобы сделать обозначения более привычными, мы будем несколько отклоняться от предыдущего определения и термы записывать в виде

Примеры термов:

1. Для сигнатуры следующие выражения являются термами:Последний терм мы будем писать в сокращённом виде:а если имеет место ассоциативность умножения, то можно записать

2. В сигнатуре можно записать термы

3. Если – символ тернарной операции, а– унарной, то– термы.

Формулалогики первого порядка сигнатурыопределяется индуктивно:

1. если – термы сигнатурыи– символп-местного отношения, то– формула (такие формулы называютсяатомарными);

2. если и– формулы, то– формулы;

3. если – формула и– предметная переменная, тои– формулы.

Отметим, что так же, как и в исчислении высказываний, для облегчения восприятия формул мы часто в выражениях вида внешние скобки будем опускать.

Примеры формул:

1. В сигнатуре формулами УИП являются слова:

2. В сигнатуре где точка обозначает символ бинарной операции, а = и– соответственно символы бинарного и тернарного отношений, примерами формул являются:

Связанная переменная формулы – это переменнаякоторая связана квантором, т.е. в формулеесть подсловоилиПеременные, входящие в формулу, но не связанные кванторами, называютсясвободными. Формуланазываетсязамкнутой, если она не содержит свободных переменных. Замкнутую формулу можно назватьвысказыванием. Незамкнутые формулы являютсяпредикатамиРазумеется, и незамкнутые формулы являются предикатами, но эти предикаты нульместные. Приведём примеры.– замкнутая формула, а– незамкнутая, её можно рассматривать как предикат от переменныхи(здесьозначает равенство по определению). Легко видеть, чтовсякая формула УИП является предикатом от своих свободных переменных.

Пусть – модель, где– носитель,– сигнатура и– формула УИП со свободными переменнымиИстинность или ложность этой формулы зависит от того, какие значения мы придадим переменнымНазовёмоценкойотображение(смысл её состоит в том, что мы каждой предметной переменной присваиваем какое-то значение из множестваОпределимзначение истинностиформулы на оценкеИстину мы будем обозначать буквой И, аложь– буквой Л. Определение построим индукцией по длине формулы. Положим... ,

1. если – атомарная формула, где– термы, тов том и только в том случае, если

2. если имеет видилито истинность или ложность высказыванияопределяется по обычным правилам;

3. если тов том и только том случае, еслипри всех

4. если тов том и только том случае, еслипри каком-нибудь

3. Выразимые и невыразимые предикаты.